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Exercice 4 final 2009 Maxi. [Forum - Forum Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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Peter Schrijf
Exercice 4 final 2009 Maxi.
Peter Schrijf
Bonjour quelqu'un aurait il une résolution pour cette exercice car je ne trouve décidément pas. Merci!

Contribution du : 22/03/2011 19:03
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Re : Exercice 4 final 2009 Maxi.
Professeur OMI
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Bon, il y a de nombreux cas à envisager en fait, mais le cas principal est celui où est sur le segment et sur le segment .

D'abord, montrons que si est tangente aux deux cercles, alors est équilatéral. On pose les angles et . Aussi, et .

Comme tangente au deux cercles, par angles tangentiels et inscrits interceptant le même arc, on a et . Par angles inscrits cette fois-ci, et .

De plus, on sait que , et vu que aussi, on a . De la même façon, . En particulier, et .

Encore par angles inscrits, et . Vu que , on a déjà que . De plus, dans le triangle , on a la somme des angles qui vaut : . Et aussi, est un angle plat donc . En réunissant les deux égalités, on trouve aisément que , et donc que est équilatéral.



Maintenant pour l'autre sens, on suppose que . On procède alors à peu près à l'envers. Posons , , et .

On a aussi et . Comme tantôt, on a , d'où . De la même façon, .

Alors, du triangle on trouve , c'est à dire , et de angle plat, . On trouve donc .

Ainsi, et . Vu qu'on avait aussi et , on a finalement que , d'où tangente à , et , d'où tangente à .



Je conseille fortement de faire un dessin avec tous les angles avant d'essayer de comprendre cette démonstration...

Contribution du : 24/03/2011 22:42
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peter
Re : Exercice 4 final 2009 Maxi.
peter
Merci de ta réponse claire! Pas si dure en faite ^^. Sans vouloir abuser de ta bonté ne saurais tu pas me donner un indice pour le 4de 2010

Contribution du : 28/03/2011 22:28
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Peter
Re : Exercice 4 final 2009 Maxi.
Peter
Ça va j'ai réussi à le faire :). Quelqu'un sait m'aider pour la question 3 de l'examen 2005. Je suis arrivé à: |AD| + |EC|=|AC|.((sin(A/2))/sin(B+A/2))+((sin(C/2))/(sin(B+C/2))). Mais je bloque après. Merci !

Contribution du : 30/03/2011 21:48
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Re : Exercice 4 final 2009 Maxi.
Professeur OMI
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Voilà la solution que j'avais proposée pour ce problème (et qui n'a jamais été acceptée, allez savoir pourquoi!)

Soient et les amplitudes respectives des angles et .
Si est l'intersection des bissectrices, il est aisé de constater que et
Nous avons également et .
En appliquant la loi des sinus plusieurs fois, on trouve les équations suivantes :







En injectant cette dernière dans chacune des deux premières, on a alors :



et



A présent, nous allons utiliser le symbole pour représenter , , ou suivant les cas. sera donc utilisé durant toute la solution et sa valeur (, , ou ) sera ensuite déterminée suivant l'amplitude de .

Il nous faut donc résoudre , d'inconnue !
C'est équivalent à :





(tous les sinus étant positifs)

Posons à présent , et réexprimons cette équation en fonction de et :





Et puisque , il vient :



(car est positif)













Et on peut diviser par





car (puisque et sont les amplitudes des angles et )



Or, l'angle , et on trouve alors :









On peut ainsi déduire que !.

En bref :

(a)

(b)

(c)

(Il est interdit de traiter cette solution de brutale.)

Contribution du : 01/04/2011 13:52
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Re : Exercice 4 final 2009 Maxi.
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25/10/2009 19:43
De Namur
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De loin, c'est joli:p

Contribution du : 01/04/2011 18:07
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Re : Exercice 4 final 2009 Maxi.
Groupe Z
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02/12/2008 16:02
De Wintrange
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Ou plus précisément: C'est joli de loins, mais loins de joli

Contribution du : 01/04/2011 19:32
_________________
Conjecture de Schram: L'infini n'est pas premier...
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