Déterminer tous les polynômes P à coefficient réels tels que P(X²)=(P(X))².

J'ai trouvé que tous les polynômes du type P(X)=X^n (n appartient à l'ensemble des naturels) satisfont à la condition, sans oublier P(X)=0.
Je ne vais pas vous écrire ma solution mais seulement vous la décrire car je ne sais pas comment écrire les symboles mathématiques dans un traitement de texte (pourriez-vous m'aidez aussi à ce propos d'ailleurs?).
Prenons un polynôme de degré n, calculons (P(X))² et P(X²) puis égalons les coefficients des termes de même degré(il ne faut calculer que les premiers termes(ceux de plus haute puissance) pour ma méthode). On trouve facilement que le coefficient du terme de degré n(que je nommerai a) vaut 1 (en fait on à a²=a donc a=0 ou a=1, mais le coefficient ne peut valoir 0 sinon le polynôme ne serait pas de degré n).Ensuite on regarde le premier double produit(soit b le coefficient du terme de degré n-1): on obtient ainsi l'équation 2ab=0, d'où b=0, car P(X²) ne contient pas de terme de degré impair. A partir de là on a un polynôme simplifié,que l'on peut réécrire, pour lequel on peut recalculer (P(X))² et P(X²) et en calculant à chaque fois le double produit des termes de plus haute puissance on voit que tous les coefficient doivent être nuls, sauf celui du terme de degré n.

Encore une fois, pouvez vous m'aider à écrire cela clairement ou à me corriger ?

Merci.

Le raisonnement m'a l'air bon, mais c'est difficile à dire joliment. Tu peux toujours faire une sorte de récurrence, mais bon amusement xD.
Sinon, comme tu as remarqué que seuls les polynômes du type x^n marchent, tu peux essayer de le prouver en considérant le polynôme P(x) - x^n, et montrer qu'il doit valoir 0.
Donc moi je ferais ca ainsi : si P(x) est un polynôme qui respecte P(x²) = P(x)², alors tu as déjà montré que le coefficient de x^n doit être 1. Dès lors, tu poses Q(x) = P(x) - x^n, et tu sais que Q est soit le polynôme nul, soit un polynôme de degré m positif (avec m < n). On va supposer qu'il n'est pas nul et qu'il est donc de degré m.

Comme P(x²) = P(x)², on a
Q(x²) + x^(2n) = (Q(x) + x^n)²
Q(x²) = Q(x)² + 2 x^n Q(x)

Là on espère avoir un problème de degré, généralement.
Q(x²) est de degré 2m, Q(x)² est de degré 2m aussi, et 2 x^n Q(x) est de degré m + n. Or, m + n > 2m, donc on a un polynôme de degré m + n (à savoir 2 x^n Q(x)) qui est égal à la différence de deux polynômes de degré strictement inférieur, ce qui est absurde. Donc le polynôme Q ne pouvait être que le polynôme nul.
Et dans ce genre d'exercice, n'oublie pas non plus de prouver que le cas P(x) = x^n fonctionne bien, ca serait bête de montrer que c'est le seul cas possible, sans préciser qu'il vérifie bien les conditions de l'énoncé (dans ce cas il n'y a rien à montrer, il suffit de le dire, mais ca évite de perdre un bête point).

Pour les symboles mathématiques, on peut utiliser le LaTeX sur ce forum. Tu peux te renseigner sur le sujet sur internet, ce n'est pas un langage très compliqué. Généralement je l'utilise car c'est plus joli mais là j'avoue avoir eu la flemme de l'utiliser.

Merci et bravo. Alors que je résous le problème coefficient par coefficient toi tu trouves directement que tout le reste du polynôme est nul. Je n'ai pas l'habitude de ce genre de raisonnement mais je devrais définitivement prendre exemple sur celui-ci. En fait, il faut déjà connaître la réponse pour trouver ce genre d'astuce. Tu te sers de la relation donnée au départ de la façon la plus simple qui soit. Personnellement je trouve qu'il était difficile de voir qui'il fallait remplacer P(X) par Q(X)+ X^n.

J'ajouterais que pour utiliser LaTeX, il te faut entourer ton texte de dollars.
Comme ainsi

Code :
\left\{
\begin{array}{rcl}
P(x) & = & Q(x) + x^n\\
P(x^2) & = &P^2(x)
\end{array}
\right.

Code :
\begin{eqnarray*}
Q(x^2) + x^{2n} & = & (Q(x) + x^n)^2\\
Q(x^2) & = & Q^2(x) + 2 x^n Q(x)
\end{eqnarray*}

Merci pour l'info. Donc si j'ai bien compris il suffit d'écrire et ce qui est entre dollars est du code LaTeX.

J'ai bien compris ^^
Merci

Non, c'est

Merci pour cette superbe remarque, Benoît. Quoique ne veut selon moi rien dire puisqu'il a deux racines, à savoir et . Tout comme tes racines cubiques, il y en a trois (autant que les petits points qui vont conclure ce commentaire)...

C'est vrai que ne signifie pas grand chose, sauf si l'on convient que et mais je ne sais pas si on peut dire ça.
Sinon je crois avoir déjà vu la formule que Benoît a nommée. Ne s'agit-il pas d'une formule trouvée par le mathématicien Bombelli lorsqu'il cherchait les racines d'une équation du troisième degré ? C'est d'ailleurs à ce moment-là qu'ils ont inventé les nombres complexes.

T'as été à dédra-math-isons?