Bonjour à tous, j'ai acheté il y a peu les recueils 6 et 7 des OMB. Quelque questions me rebute, si vous savez m'aider :) Merci d'avance.

d05,X12.

Sans réponse préformulée - Quel est le plus petit naturel de la forme n² + n +1 qui est aussi la somme d'un carré parfait et d'un cube parfait, n étant un naturel non nul?

e05, X28.

Sans réponses préformulée - Combien de polynomes p à coefficients réels sans terme constant vérifient pour tout x réel, p(x+2)=p(x) +2 .?

Quelqu'un a-t-il trouvé les réponses ?

J'ai deux autres questions. :)

- Quelle est le nombre de solutions entières de x² + y² = 2006 + z² ?

- Chercher les 6 diviseurs de 2^48 - 1, compris entre 50 et 100.

Merci !

- Quel est le plus petit naturel de la forme qui est aussi la somme d'un carré parfait et d'un cube parfait, étant un naturel non nul?

Déjà je me demande si le cube parfait doit être positif ou pas. Si il peut être négatif, alors pour égal à on a . Si le cube parfait doit être positif, par contre alors je pense qu'il n'y a pas vraiment de secret... Les deux premiers cubes parfaits étant , et , si tu essayes pour égal à , , , ou , tu trouves , , et . Pour qu'ils soient sommes d'un carré et d'un cube, il faut donc que le cube soit ou , mais ça ne marche jamais. Et pour , on trouve , ce qui fonctionne.

- Combien de polynômes à coefficients réels sans terme constant vérifient pour tout réel, ?

De manière intuitive, on peut se dire qu'il nous faut un polynôme dont le graphe est celui du polynôme sur translaté une infinité de fois... Ca parait fort difficile pour un polynôme qui n'est pas une droite. Et pour une droite, comme le coefficient du polynôme doit être nul, il doit être de la forme et on trouve directement que seul fonctionne. Ce qui nous fait qu'il y a juste qui vérifie les conditions. Si on veut une démonstration moins intuitive, on peut dériver la relation, ce qui donne . Donc est périodique de période , ce qui n'arrive jamais pour un polynôme non constant (car il doit tendre vers l'infini à l'infini). Donc avec constant. Là aussi, on trouve donc car le coefficient constant est nul.

- Quelle est le nombre de solutions entières de ?

Cela revient à . Tout de suite, ça parait compliqué d'en trouver le nombre de solutions car pour chaque , il faudrait trouver la décomposition de en facteurs premiers et tout le tralala... Ca laisse donc penser qu'il y en une infinité. Et en effet, si on prend impair alors est aussi impair et on peut prendre et , ce qui donne et . On a donc, pour tout impair, un exemple de et entiers qui vérifient l'équation, donc il y a bien une infinité de solutions.

- Chercher les diviseurs de , compris entre et .

On peut décomposer en




De plus, on a la formule pour chacun des premiers termes, d'où au final :

Ce qui nous donne, en calculant tous les termes :


Il y a moyen de se convaincre qu'ils sont tous premiers, à part éventuellement le dernier que j'ignore...
En combinant les premiers termes, on trouve comme diviseurs :
, et pas d'autres, ce qui me laisse dire que n'était pas premier, et google me laisse dire que , ce qui me laisse dire que les diviseurs recherchés sont .

Je trouve le dernier problème quand même un peu compliqué pour un problème de demi-finales. Il se sont déchaînés cette année-là.
C'est le genre de problème qui, s'il ne se trouvait pas en fin de questionnaire, me ferait perdre 30 minutes, et je me rendrais ensuite compte qu'il me reste 5 minutes pour les 10 derniers problèmes.

Génial Nicolas! Merci
Pour le 97, en sachant que 2^96 -1 est divisible par 97 (d'après Fernat) on déduit que 2^48-1 est peut être musltiple de 97 ce qui facilite nos recherches...

Citation :

Faut le savoir pcq les puissances de 2 qui valent 1 modulo 97 sont {2^0, 2^48, 2^96,..} bref, c'est périodique de période 48. Donc il faut essayer toutes les puissances de 2 modulo 97 jusqu'à 48 (jusqu'à 24 plus exactement car 2^24=-1 (mod97), et on peut en déduire que 2^48=1 mod(97)).

2^3 = 8
2^6 = 8² = 64
2^12 = 64² = 22
2^24 = 22² = 96 = -1
2^48 = 1

Modulo 97, cela s'entend :D. Donc t'es pas obligé de faire 48 calculs mais bon... Ceci étant j'aurais quand même jamais trouvé 97 :p

Mais non Francois, comme il disait, tu prends Fermat et le résultat découle tout de suite...

Par contre clairement, y penser en demi est une autre histoire

Citation :

Tu pense qu'il existe beaucoup de nombres premiers p>2 tels que 2^[(p-1)/2] = 1 mod p ?