Anonyme
|
Préparation à la demi-finale |
|
---|---|---|
Anonyme
|
Bonjour à tous,
Je me suis entraîné pour la demi-finale de l'olympiade mathématique et je n'arrive pas à résoudre certaines questions. Pourriez-vous m'aider? Merci d'avance :) (X^ =X exposant ) D04 Q22: Quel est le produit maximal que l'on peut former avec deux nombres naturels dont la différence des carrés égale 64? (Réponse: 255) D04 Q28: Quel est le nombre de solutions réelles de l'équation sinx= 1/x^2004? (Réponse: E) A:0 B:4 C:8 D:16 E:Une infinité E08 Q10: Quel est le plus petit nombre naturel possédant exactement 10 diviseurs naturels? (Réponse: 48) E08 Q12: Pour combien de valeurs entières de n la fraction n+3/n+1 est-elle entière? (Réponse: C) A:1 B:2 C:4 D:6 E:Une infinité E08 Q30: Pour combien d'entiers n l'expression n^4+4n^3-3n^2+4n+1 est-elle un nombre premier? (Réponse: C) A:0 B:1 C:2 D:4 E:Une infinité E11 Q9: Quel est le chiffre des unités de 1!+2!+3!+4!+...+2010!+2011!, si n!=1X2X3X...Xn ? (Réponse: B) A:0 B:3 C:7 D:8 E:9 E11 Q19: La différence des carrés de deux naturels est 29. Quel est le produit de ces deux naturels? (Réponse: 210) E11 Q22: Quel est le plus grand naturel inférieur à 100 qui a exactement 4 diviseurs? (Réponse: 95) E12 Q28: Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de 99!/10^12 (où n!=n.(n-1). ... .3.2.1)? (Réponse: C) A:0 B:7 C:10 D:12 E:Aucune des réponses précédentes E12 Q29: Que vaut la somme des inverses des racines du polynôme X^4-10X^3+25X^2-36? (Réponse: B) A:-10 B:0 C:0.1 D:10 E:12 D11 Q18: Pour combien de naturels n le quotient (n²+2011)/(n+1) est-il naturel? (Réponse: 6) D11 Q20: Soit p un nombre premier. Combien de couples (x,y) d'entiers vérifient l'équation x^4-y^4=p^4? (Réponse: C) A:0 B:1 C:2 D:4 E:p
Contribution du : 24/02/2012 15:51
|
|
![]() |
Re : Préparation à la demi-finale |
||
---|---|---|
Groupe Z
![]() ![]() Inscrit:
03/11/2010 20:56 De Ottignies
Groupe :
Utilisateurs enregistrés OMI Groupe Z Post(s):
343
|
Salut !
Les résolutions ci-dessous ne sont pas des démonstrations, mais sont le raisonnement qu'il faut généralement avoir dans des situations d'éliminatoires ou demi-finales. D04 Q22: Pour maximiser ce produit, on a intérêt à ce que les deux nombres soient grands. Or, quand des nombres d'écart constant grandissent, l'écart entre leurs carrés grandit aussi. Donc, à l'inverse, pour que ces nombres soient les plus grands possibles avec écart entre les carrés constant, il faut que leur écart soit le plus petit possible. - Si leur écart est 1 : nommons-les - Si leur écart est 2 : nommons-les Le produit maximal est donc D01 Q28: On le voit assez bien graphiquement. Le graphe de E08 Q10: Il faut savoir qu'un nombre Dès lors, le meilleur moyen pour ce produit de valoir 10 sans que E08 Q12: Puisque E08 Q30: On observe que E11 Q9: On remarque qu'à partir de E11 Q19: On essaie en les prenant consécutifs : E11 Q22: Grâce à la formule en (E08 Q10), on calcule facilement le nombre des diviseurs de 100, 99, 98, 97, 96, et enfin 95. E12 Q28: Le nombre de 0 de ce nombre est évidemment celui de E12 Q29: Si on avait parlé de racines complexes on aurait pu faire quelque chose de jolie, mais vu qu'on n'est pas sûr que toutes les racines existent on doit se résoudre à trouver toutes les racines avec Hölder. Heureusement elles sont sympathiques : 1, -2, -3 et -6. La somme de leurs inverses vaut donc 0. D11 Q18: On a D11 Q20: L'équation équivaut à ![]() (Les puristes sur ce forum vont me dire qu'au lieu de tuer une mouche au bazooka, j'aurais pu travailler sur ![]()
Contribution du : 24/02/2012 19:17
|
|
![]() |
Re : Préparation à la demi-finale |
||
---|---|---|
Groupe Z
![]() ![]() Inscrit:
03/11/2010 20:56 De Ottignies
Groupe :
Utilisateurs enregistrés OMI Groupe Z Post(s):
343
|
Surtout n'hésite pas à quérir d'avantage
De clarifications que n'offre mon message. Car malgré mes efforts, mes paroles peu fines Peuvent toujours, hélas, paraître sibyllines. ![]()
Contribution du : 25/02/2012 00:29
|
|
![]() |
Anonyme
|
Re : Préparation à la demi-finale |
|
---|---|---|
Anonyme
|
Un grand merci! Tes solutions m'ont été d'une grande aide.
![]() J'ai juste une petite question: -Pour la question "E12 Q29": C'est bien la méthode de Horner que tu as utilisée? (Je suppose que "Holder" est une faute de frappe) Si oui, n'y a-t-il pas une méthode plus rapide tout de même? Car la méthode de Horner me parait onéreuse en temps pour une épreuve comme l'olympiade ...
Contribution du : 25/02/2012 22:40
|
|
![]() |
Re : Préparation à la demi-finale |
||
---|---|---|
Groupe Z
![]() ![]() Inscrit:
03/11/2010 20:56 De Ottignies
Groupe :
Utilisateurs enregistrés OMI Groupe Z Post(s):
343
|
Oh oui, au temps pour moi, je voulais bien sûr dire Horner. Tu as pu d'ailleurs te rendre compte vu les nombreuses autres coquilles que je ne me suis pas relu très soigneusement.
![]() En fait, il suffisait de trouver deux des racines, et de vérifier que le polynôme restant avait un Mais je ne connais pas de méthode plus rapide que celle-là.
Contribution du : 26/02/2012 00:57
|
|
![]() |
Re : Préparation à la demi-finale |
||
---|---|---|
Groupe Z
![]() ![]() Inscrit:
03/11/2010 20:56 De Ottignies
Groupe :
Utilisateurs enregistrés OMI Groupe Z Post(s):
343
|
Bon, vu que Nicolas Radu n'est pas intervenu, on peut supposer qu'il n'y a effectivement pas de méthode plus rapide.
![]() En tout cas, bonne chance pour mercredi ! ![]()
Contribution du : 27/02/2012 05:20
|
|
![]() |
Re : Préparation à la demi-finale |
||
---|---|---|
Groupe Z
![]() ![]() Inscrit:
25/10/2009 19:43 De Namur
Groupe :
Utilisateurs enregistrés OMI Groupe Z Post(s):
269
|
Juste pour les questions E08 Q12 et D11 Q18:
et Ca ne change rien à ce que Victor a fait, c'est juste pour dire que dans ce genre de problème, effectuer la division euclidienne donne tout de suite les solutions et de manière simple. Le problème est toujours du style
Contribution du : 27/02/2012 20:33
|
|
![]() |
Anonyme
|
Re : Préparation à la demi-finale |
|
---|---|---|
Anonyme
|
Encore merci! J'espère que tous vos conseils me serviront pour la demi-finale et me permettront de gagner quelques points en plus et surtout d'accéder à la finale...
![]()
Contribution du : 27/02/2012 21:04
|
|
![]() |
Re : Préparation à la demi-finale |
||
---|---|---|
Groupe Z
![]() ![]() Inscrit:
03/11/2010 20:56 De Ottignies
Groupe :
Utilisateurs enregistrés OMI Groupe Z Post(s):
343
|
Ah oui j'avais pas pensé à ça. >.<
Apparemment dès que je vois un truc à peu près résoluble mon discernement disparaît. ![]()
Contribution du : 27/02/2012 23:24
|
|
![]() |
Anonyme
|
Re : Préparation à la demi-finale |
|
---|---|---|
Anonyme
|
Bonjour,
Comment résoudre de manière non-graphique (par calcul)la Q. D04Q28? Merci! :D
Contribution du : 28/02/2012 20:26
|
|
![]() |