Bonjour à tous,
Je me suis entraîné pour la demi-finale de l'olympiade mathématique et je n'arrive pas à résoudre certaines questions. Pourriez-vous m'aider? Merci d'avance :)
(X^ =X exposant )

D04 Q22: Quel est le produit maximal que l'on peut former avec deux nombres naturels dont la différence des carrés égale 64? (Réponse: 255)

D04 Q28: Quel est le nombre de solutions réelles de l'équation sinx= 1/x^2004? (Réponse: E)
A:0 B:4 C:8 D:16 E:Une infinité

E08 Q10: Quel est le plus petit nombre naturel possédant exactement 10 diviseurs naturels? (Réponse: 48)

E08 Q12: Pour combien de valeurs entières de n la fraction n+3/n+1 est-elle entière? (Réponse: C)
A:1 B:2 C:4 D:6 E:Une infinité

E08 Q30: Pour combien d'entiers n l'expression n^4+4n^3-3n^2+4n+1 est-elle un nombre premier? (Réponse: C)
A:0 B:1 C:2 D:4 E:Une infinité

E11 Q9: Quel est le chiffre des unités de 1!+2!+3!+4!+...+2010!+2011!, si n!=1X2X3X...Xn ? (Réponse: B)
A:0 B:3 C:7 D:8 E:9

E11 Q19: La différence des carrés de deux naturels est 29. Quel est le produit de ces deux naturels? (Réponse: 210)

E11 Q22: Quel est le plus grand naturel inférieur à 100 qui a exactement 4 diviseurs? (Réponse: 95)

E12 Q28: Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de 99!/10^12 (où n!=n.(n-1). ... .3.2.1)? (Réponse: C)
A:0 B:7 C:10 D:12 E:Aucune des réponses précédentes

E12 Q29: Que vaut la somme des inverses des racines du polynôme X^4-10X^3+25X^2-36? (Réponse: B)
A:-10 B:0 C:0.1 D:10 E:12

D11 Q18: Pour combien de naturels n le quotient (n²+2011)/(n+1) est-il naturel? (Réponse: 6)

D11 Q20: Soit p un nombre premier. Combien de couples (x,y) d'entiers vérifient l'équation x^4-y^4=p^4? (Réponse: C)
A:0 B:1 C:2 D:4 E:p

Salut !

Les résolutions ci-dessous ne sont pas des démonstrations, mais sont le raisonnement qu'il faut généralement avoir dans des situations d'éliminatoires ou demi-finales.

D04 Q22: Pour maximiser ce produit, on a intérêt à ce que les deux nombres soient grands. Or, quand des nombres d'écart constant grandissent, l'écart entre leurs carrés grandit aussi. Donc, à l'inverse, pour que ces nombres soient les plus grands possibles avec écart entre les carrés constant, il faut que leur écart soit le plus petit possible.
- Si leur écart est 1 : nommons-les et . L'écart des carrés est , et ne peut donc valoir 64. Dommage. On essaie avec 2.
- Si leur écart est 2 : nommons-les et . L'écart des carrés est . est possible.
Le produit maximal est donc .

D01 Q28: On le voit assez bien graphiquement. Le graphe de oscille régulièrement entre 1 et -1, tandis que le graphe de tend vers 0 en et est plus petit que 1 à partir de 1. De toute évidence il vont avoir une infinité d'intersections, et donc de valeur de où ils les deux expressions sont égales.

E08 Q10: Il faut savoir qu'un nombre se réprésentant comme cela en facteurs premier : aura diviseurs.
Dès lors, le meilleur moyen pour ce produit de valoir 10 sans que devienne trop grand est d'attribuer le facteur 5 à et le facteur 2 à , et de prendre et . Le nombre vaut donc .

E08 Q12: Puisque et ont une différence de 2, le pgcd est 1 ou 2. Or puisque divise , leur PGCD vaut (car n+1 peut être négatif). Dès lors, on a égal à 1, 2, -1 ou -2 qui donne chacun une solution.

E08 Q30: On observe que (puissance 4 d'une somme, et différence de deux carrés. Pour qu'un produit d'entiers vaille un premier, un des deux facteurs doit être égal à 1. On a donc ou , soit égal à -5, 0 ou 1. Seuls -5 et 1 donnent une solution valable.

E11 Q9: On remarque qu'à partir de , est multiple de 10. Dès lors, le chiffre des unités de cette somme est celui de . Donc il vaut 3.

E11 Q19: On essaie en les prenant consécutifs : et . , donc une solution est . (On n'a pas prouvé que c'est la seule mais ce n'est pas nécessaire.)

E11 Q22: Grâce à la formule en (E08 Q10), on calcule facilement le nombre des diviseurs de 100, 99, 98, 97, 96, et enfin 95.

E12 Q28: Le nombre de 0 de ce nombre est évidemment celui de , moins 12. Dans , le nombre de 0 vaut le nombre de facteurs 10. Pour former ces facteurs 10, on a besoin de facteurs 5 et de facteurs 2. Or, on a des facteurs 2 en excès, donc ce sera le nombre de facteurs 5. Dans les nombres de 1 à 99, on a 19 multiples de 5, donc déjà 19 facteurs 5. Mais de plus on a 3 multiples de 25, donc 3 facteurs 5 en plus. En tout, a donc zéros, donc a zéros à la fin.

E12 Q29: Si on avait parlé de racines complexes on aurait pu faire quelque chose de jolie, mais vu qu'on n'est pas sûr que toutes les racines existent on doit se résoudre à trouver toutes les racines avec Hölder. Heureusement elles sont sympathiques : 1, -2, -3 et -6. La somme de leurs inverses vaut donc 0.

D11 Q18: On a , ce qui nous ramène à une situation similaire à (E08 Q12), c'est-à-dire divise , qui possède grâce à la formule de (E08 Q10) 6 diviseurs, et puisque cette fois on n'accepte pas négatif, il y a 6 valeurs possibles pour .

D11 Q20: L'équation équivaut à , ce qui est un cas particulier du grand théorème de Fermat (si tu ne le connais pas, va voir sur Internet, c'est de la culture générale). On a donc pour seules solution (car ne peut l'être) et , donc les couples et , soit deux solutions.
(Les puristes sur ce forum vont me dire qu'au lieu de tuer une mouche au bazooka, j'aurais pu travailler sur , mais j'aime les bazookas.)

Surtout n'hésite pas à quérir d'avantage
De clarifications que n'offre mon message.
Car malgré mes efforts, mes paroles peu fines
Peuvent toujours, hélas, paraître sibyllines.

Un grand merci! Tes solutions m'ont été d'une grande aide.
J'ai juste une petite question:
-Pour la question "E12 Q29": C'est bien la méthode de Horner que tu as utilisée? (Je suppose que "Holder" est une faute de frappe) Si oui, n'y a-t-il pas une méthode plus rapide tout de même? Car la méthode de Horner me parait onéreuse en temps pour une épreuve comme l'olympiade ...

Oh oui, au temps pour moi, je voulais bien sûr dire Horner. Tu as pu d'ailleurs te rendre compte vu les nombreuses autres coquilles que je ne me suis pas relu très soigneusement.

En fait, il suffisait de trouver deux des racines, et de vérifier que le polynôme restant avait un ou positif. Car, si on suppose que toutes les racines existent, on peut représenter le polynôme de cette façon : , ou sont ses racines (car le coefficient en vaut 1). Or, on remarque que le terme en vaut 0, et vaut . Et puisqu'aucune des racines n'est nulle, on en déduit que la somme des inverses est nulle.

Mais je ne connais pas de méthode plus rapide que celle-là.

Bon, vu que Nicolas Radu n'est pas intervenu, on peut supposer qu'il n'y a effectivement pas de méthode plus rapide.

En tout cas, bonne chance pour mercredi !

Juste pour les questions E08 Q12 et D11 Q18:

et les solutions viennent d'elle-même:

et et les valeurs de n en découlent.

Ca ne change rien à ce que Victor a fait, c'est juste pour dire que dans ce genre de problème, effectuer la division euclidienne donne tout de suite les solutions et de manière simple.

Le problème est toujours du style où r est un entier naturel, et A,B,Q et R sont des polynômes à une variable (n). On doit juste calculer les diviseurs de r et les solutions découlent de l'équation où p est un diviseur de r.

Encore merci! J'espère que tous vos conseils me serviront pour la demi-finale et me permettront de gagner quelques points en plus et surtout d'accéder à la finale...

Ah oui j'avais pas pensé à ça. >.<
Apparemment dès que je vois un truc à peu près résoluble mon discernement disparaît.

Bonjour,
Comment résoudre de manière non-graphique (par calcul)la Q. D04Q28?
Merci! :D