merci d'avoir clarifier mes propos saugrenus Victor :-p normalement, maintenant que Victor est passé tout devrait être clair :) et je suis content qu'il n'aie pas trouver de manière simple pour le X^4+2. Au moins je me sens moins seul xD

Merci beaucoup à vous deux !

Je ne comprends juste pas comment on passe à

En multipliant par 2003^2x^2 et passant tout à gauche :

(x+2003)(x-2003)(2003x+1)(2003x-1)= 0

D'où vient le 1? Car si on multiplie par 2003^2x^2 le 1 disparaît?

Je ne comprends pas avec la fonction non plus, la 1ère méthode que vous avez donnez qui consiste à retirer à chaque fois les x+1. Je n'arrive pas à la bonne réponse.

en fait , en enlevant successivement les (X+1) on doit trouver la fonction F(k). Pour être plus précis, si on effectue l'opération F(X+1)-p*(X+1)^m et que l'on ne trouve plus de facteurs X^m dans le résultats, on sait qu'on trouve exactement p*k^m dans F(k). en oubliant pas que si on ajoute des facteurs de (X+1) par après, on soustrait les mêmes facteurs de k.
J'espère avoir été plus clair que la fois précédente.

Pour la factorisation de x⁴+2, il existe en fait une manière qui consiste à effectuer le produit (x²+ax+b)(x²+cx+d), soit x⁴+(a+c)x³+(b+ac+d)x²+(ad+bc)x+bd, en supposant que la factorisation est de cette forme, puis pour que deux polynômes soient égaux il faut que les coefficients soient égaux, donc :
En x⁴ : 1 = 1
En x³ : a+c = 0
En x² : b+d+ac = 0
En x : ad+bc = 0
En 1 : bd = 2
À partir de l'équation en x³, remarquer c = -a, puis grâce à l'équation en x, déduire a(d-b) = 0. En séparant les cas a = 0 (impossible) et b = d, on arrive assez vite à la factorisation.

Pour l'équation, voici les étapes sur lesquelles je suis passé un peu vite :
En multipliant par 2003²x², on obtient :
2003²x²(x+2003)(x-2003) = 1(x+2003)(x-2003)
Puis, en passant tout à gauche et en mettant (x+2003)(x-2003) en évidence, on obtient :
(x+2003)(x-2003)(2003²x²-1) = 0
Ce qui mène presque directement aux quatre solutions.
Tu noteras qu'on ne fait jamais vraiment « disparaître » le 1 : simplement, on le sous entend. Quand on dit « A », on sous-entend en fait « 1A ». C'est pour ça qu'on retrouve le « -1 » venant de gauche après avoir mis en évidence.

Et enfin, je crois que ce que Xavier essaie de faire, c'est transformer l'expression x²-x+1 manuellement pour qu'elle dépende non plus de x mais de x+1, obtenant f(x+1) = (x+1)²-3(x+1)+3. Une fois qu'on a ça, on peut déduire directement la valeur de f(x) en remplaçant tous les x+1 dans l'équation par x. (On appelle ça un changement de variable.)

Eh bien c'est à mon tour de demander de l'aide.
En faisant la demi-finale maxi 2008, je suis tombé sur un problème pour lequel je n'avais aucune idée de démarrage. C'est le problème 27 :

Sans réponse préformulée — Les nombres réels a, b, c sont strictement positifs et tels que :
⌈ a²-c² = ac-3a
| c²-b² = bc-3b
⌊ b²-9² = ab-bc
Le nombre b est entier. Que vaut-il ?
Réponse : 27

Résultat, j'ai tâtonné, j'ai paniqué, et après maintes tentatives aussi stupides et désespérées qu'infructueuses, un temps à peine avouable, je suis arrivé à la réponse, mais sans utiliser la condition sur b.

Est-ce que l'un d'entre vous aurait une manière de résoudre cet exercice (à peu près) intuitive, et peut-être utilisant la condition sur b, pour éviter que je prie chaque soir pour ne pas avoir d'exercice de ce type mercredi ?

Merci d'avance !

Bon en y allant totalement au feeling...
Si tu multiplies la première équation par et la deuxième par , tu obtiens le même membre de droite, et tu en déduis donc

que tu peux réécrire :

Donc tu as soit , soit .
Je me suis d'abord attaqué à en le mettant dans la troisième équation et en gardant la deuxième :


Par magie, apparait des deux cotés et on a donc

d'où et .
Après il y a le cas qui a l'air plus ennuyant à traiter, mais comme la solution ne peut être qu'unique (à moins qu'il y ait la proposition "il y a plusieurs solutions"), je ne me suis pas trop penché dessus...

Je vais donner ma méthode pour être plus précis (mais attention, c'est tordu !):
En additionnant les deux premières équations, on obtient :
a²-b² = ac-3a+bc-3b <=> (a+b)(a-b-c+3) = 0
Soit, a+3 = b+c (puisque que a,b > 0).
Ensuite, on réécrit la deuxième équation (j'ai déjà dû simplifier cette étape de mon raisonnement) :
c²+3b = b(b+c)
Et en substituant b+c = a+3 :
c² = ab
Enfin, on fait la somme des deux dernières équations :
c²-9² = ab-3b <=> 9² = 3b <=> b = 27

Je ne suis pas arrivé à simplifier le raisonnement, je n'arrive pas à sentir si c'est la bonne voie ou si je fais une quantité absurde de travail inutile. Peut-être que c'est en fait la méthode la plus courte ?

J'espère que vous pourrez éclairer ma lanterne !

(Ah, et je viens de me rendre compte que la demi-finale n'est pas mercredi prochain. J'aurais bien voulu voir ma tête quand je serais arrivé à l'auditoire et me serais doucement rendu compte que je m'étais trompé de date…)

Ah flute je viens juste de voir que tu voulais une solution intuitive :D
Et heureusement que tu t'es trompé de date dans le bon sens :)

Parler de tels malheurs à cette heure tardive, voilà qui ne peut que me donner des cauchemars.

En tout cas c'est gentil de te pencher sur mon problème. Je vais peut-être modérer mes exigences toutefois. Une solution intuitive, c'est peut-être un peu trop demander, surtout que mon intuition est pourrie. Si tu as une méthode (à peu près) (relativement) systématique à appliquer sur d'autres problèmes similaires par contre, ce serait vraiment bienvenu.