Donc, pour l'exercice 1, grâce à la théorie exposée dans l'article, on peut supposer qu'il y a un triangle (rouge ou vert) et avec les trois autres points pas encore utilisés, on peut montrer de même qu'on obtient un triangle unicolore (rouge ou vert) et on peut donc conclure que le résultat est établi ???

Bon, supposons qu'il existe un graphe complet à 6 sommets bicolore sans 2 triangles monochromes.
Il existe un triangle (disons ABC rouge) comme prouvé.
Supposons CD rouge,
-> AD et BD bleu
Supposons DE bleu,
-> AE et BE rouge
--> ABE rouge
Donc DE rouge,
-> CD bleu
...
CD bleu et (par symétrie) tous les segments entre A,B ou C et D,E ou F aussi.
Et merde ....

Une technique pour résoudre les exercices 1 et 3:

Supposons un graphe complet à n sommets colorié en deux couleurs.

Première idée cool: On peut s'intéresser au nombre N de triplet de sommets (x, y, z) tels que les arêtes (x,y) et (x,z) sont de couleurs différentes. On remarque que dans chaque triangle non-monochrome, il y a exactement 2 triplets de la sorte et que dans aucun triangle monochrome, il n'y a de tels triplets. Donc (nombre de triangle monochrome) = (nombre de triangles) - (nombre de triangles non-monochrome) = .

Donc on veut trouver une valeur maximale à N qui nous donne une valeur minimale satisfaisante au nombre de triangles monochromes.

Deuxième idée cool: Pour trouver cette majoration, on s'intéresse au nombre de tels triplets (x, y, z) avec x fixés. Ce nombre de triplets est trivialement (nombre d'arêtes bleues issues de x)*(nombre d'arêtes rouges issues de x) . Le nombre total de triplets est donc inférieur ou égal à . Cette majoration devrait suffire pour ces deux exercices.

Si le début de ton raisonnement fonctionne - Corentin - (je me suis pas fais chier à vérifier), alors - si j'ai bien compris - on peut conclure de la sorte:
Si DE, EF ou FD sont bleus (par exemple DE), alors nous avons un deuxième triangle monochrome en reliant l'arête bleue avec A, B ou C (dans cet exemple, le triangle ADE est alors entièrement bleu). Et si aucun ne sont bleus, ils sont tous rouges => triangle DEF monochrome. Donc il existe nécessairement un deuxième triangle monochrome.

...Par contre, ça risque d'être difficile de généraliser pour l'exercices 3.

Il n'y aurait pas un problème avec N/2 ?

On n'a toujours un nombre entier (si N est impair) !

Justement, j'ai montré que N = 2*(nombre de triangles non-monochromes). Il ne peut donc, pas être impair...

Merci, c'est parfaitement clair maintenant et je confirme que les majorations sont pratiques : j'obtiens N <= 36 pour l'exercice 1 (d'où N_max = 36) et N <= 63 pour l'exercice 3 (d'où N_max = 62).