Pour revenir au problème (déso Nicolas, t'es problèmes de changement d'heure ne m'ont pas passionnéXD):

Supposons que P=Q*R avec P et Q à coefficients entiers, et qu'il existe un coefficient de R qui ne soit pas entier (soit p/q ce coefficient où p,q sont entiers et (p,q)=1). Le terme p/q*X^k apparait donc dans R(X).

Nommons a0, a1, ..., an les coefficients entiers de P, et b0, b1,..., bm les coefficients entiers de Q (P est de degré n, et n>m>0), et c0, c1,..., c(n-m) les coefficients de R.

Soit ck = p/q (k<=(n-m))
On a donc ak = b0*ck + b1*c(k-1) +...+ bk*c0 est entier.

Or, b0*ck = b0*p/q n'est pas forcement entier. Spdg on peut supposer que b0 n'est pas divisible par q (en effet, il existe au moins un bi qui n'est pas divisible par q, sinon Q=q*S où S est à coefficients entiers, => P=S*(q*R) et q*R résout le problème en terme du ck).

ak entier implique que au moins un autre cl (l<k) s'écrit sous la forme r/q où r et q sont entiers et (r,q)=1

En réitérant, on trouve que c0=m/q
Cela implique que b0est multiple de q car a0=b0*c0

Mais ensuite, on peut continuer le raisonnement pour prouver que tous les ci s'écrivent sous la forme pi/q et que tous les bi sont multiples de q. Or on sait que ce résultat implique que P=(Q/q)*(q*R) où Q/q et q*R sont à coefficients entiers.

Ceci est tout sauf une démonstration rigoureuse, mais elle indique tout au moins une démarche, une idée de résolution.

Si qqun comprend ce que j'ai écrit, qu'il me fasse signe:p

Merci pour ces explications concernant les heures, j'aurais difficilement pu le trouver moi même avec les données que j'avais recueillies!

François : Je dois avouer ne pas être super convaincu par ta "sens perte de généralité" XD. De plus, les coefficients de R pourraient être irrationnels :)). Bon là j'abuse un peu, c'est débile à montrer qu'ils sont pas irrationnels.
Il faudrait que tu nous fasses une preuve plus expliquée :p. Ceci dit, il me semblait que ce problème était faisable sans passer par cette histoire de R à coefficients entiers...

En voici une autre approche. On montre que, si et que , alors (en considérant, je pense, le terme de degré maximal tel que le coefficient de du terme de ce degré est irrationnel, comme le coefficient du terme dominant ne peut être irrationnel). Le lemme de Gauss implique alors qu'on peut écrire , où .

Alors , donc , pour .
Par ailleurs, et sinon la factorisation est triviale.

Sans perte de généralité, . Dès lors . Mais alors et donc . Par voie de conséquence, avec égalité si et seulement si .

Donc est un polynôme de degré 1000 tel que pour exactement mille entiers avec .
Donc .
Pour les autres entiers avec , . Or, pour , , une contradiction.

Oui c'est quand même plus ou moins ce à quoi je pensais, sauf que lorsqu'on a qui vaut ou pour tout entre et , j'aurais conclu ainsi :
Supposons qu'il existe deux nombres et tels que et valent et respectivement. Alors, on sait que divise . Donc ou . Ce qui signifie que deux entiers et tels que et sont différents sont toujours espacés d'au plus . Dès lors, il n'y a jamais deux tels et , parce que... c'est impossible xD. Comment le dire formellement ? On a et . Or, et valent ou eux aussi, et on trouve dans tous les cas deux nombres parmi qui sont espacés de plus de et dont l'image par est différente.
Tout cela pour dire qu'on a (ou mais cela revient au même) pour tout entre et , donc est un polynôme de degré au plus qui possède zéros (). Donc soit auquel cas qu'il faut rejeter, soit auquel cas . Et comme divise , ben les seules possibilités sont et , et voilà :p

Mea culpa, je n'avais pas vraiment lu ton premier post. Et il faut dire qu'utiliser le lemme de Gauss semble un peu technique.

Tu l'utilises comment en fait? J'ai pas tout saisi de ce passage-là.

Je l'utilise pour obtenir le résultat suivant: S'il existe une factorisation d'un polynôme à coefficients entiers dans , alors il en existe une dans .

Ben voilà ce que je cherchais comme formule miracleXD.