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Finale maXi 2000 Question 3 [Forum - Forum Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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Alexandre Sanchez Falcon
Finale maXi 2000 Question 3
Alexandre Sanchez Falcon
Le polynôme est-il divisible par un polynôme à coefficients entiers, non constant et différent de ?

Pour ce problème-ci je n'ai pas beaucoup d'idées. Un indice ?

Contribution du : 22/04/2011 16:42
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Si un polynôme P degré n>1 à coefficients entiers est divisible par un polynôme à coefficients entiers non constant et non multiple de P, j'ai envie de dire que P peut être écrit comme le produit de 2 polynômes non constants à coefficients entiers. Je suppose que c'est vrai, mais vaut peut-être mieux demander l'avis des experts.

Contribution du : 23/04/2011 16:55
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Alexandre Sanchez Falcon
Re : Finale maXi 2000 Question 3
Alexandre Sanchez Falcon
Je n'y avait pas pensé, mais en quoi cela nous aide-t-il à résoudre le problème ? En tous cas je crois pouvoir affirmer que ce polynôme n'a pas de racine rationnelle mais je ne sais pas si ça sert à quelque chose.

Contribution du : 23/04/2011 19:41
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Parce qu'il est plus aisé de montrer que P n'est pas le produit de deux polynômes à coefficients entiers. En effet, Si P = QR, on a P(n) = Q(n)R(n) pour tout n entier entre 1 et 2000, ce qui donne Q(n)R(n) = -1, et vu que Q(n) et R(n) sont entiers, on a Q(n) = 1 ou -1 pour tout n entre 1 et 2000. Après, on peut montrer qu'ils doivent valoir tous 1 ou tous -1, sinon c'est impossible. Et lorsqu'on a que des -1, Q est soit constant, soit égal à P. Et idem pour les 1 plus ou moins.
Ceci dit, encore faut il prouver ce que Francois a dit, j'ai cherché un contre-exemple sans résultat...

Aussi, l'énoncé est pas très bien formulé ainsi, on peut répondre par :

"Oui, P est divisible par 2P qui est à coefficients entiers, différent de P et non constant."

Contribution du : 23/04/2011 20:02
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Pour information, l'énoncé présenté ici est celui de questionnaire d'origine, mais il avait été précisé lors de l'épreuve que « différent de P » devait être remplacé par « non multiple de P », suite à une remarque judicieuse d'un des participants...

Contribution du : 23/04/2011 20:07
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Ah oui, je me disais bien :)
Comme lorsqu'un judicieux candidat a voulu utiliser le grand théorème de Fermat pour tuer le problème 4 de midi 2007. Quelle idée géniale ce garçon avait eu :D.

Contribution du : 23/04/2011 20:10
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Mais ce judicieux candidat n'avait même pas mis la démonstration du théorème dans la marge.

Non sincèrement c'est une question qui avait ennuyé le jury car il fallait qu'on signale à l'ensemble des participants que ce théorème ne pouvait être utilisé, tout en sachant bien que la grande majorité des participants ne connaissaient pas le théorème, et du coup allaient se demander ce que c'était, ou avoir peur de l'utiliser sans le faire exprès sous un autre nom, etc.

Contribution du : 23/04/2011 20:13
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Oui c'est vrai... Le candidat aurait peut-être mieux fait de s'abstenir de poser la question car ca aurait été quand même un peu gros qu'on puisse l'utiliser :p. Ou justement, il aurait du l'utiliser sans rien dire, je vois mal comment on aurait pu lui mettre faux :D. Ca aurait encore plus embarrassé le jury... (J'aime parler de moi à la troisième personne)

Contribution du : 23/04/2011 20:23
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Et, tant qu'on est pas dans le sujet, j'ai une terrible question qui me turlupine l'esprit depuis deux jours, à poser au webmaster. J'ai récemment remarqué que la date du dernier article posté (celui des résultats AIME) change, et est parfois le 6/4/2011, parfois le 7/4/2011. Plus troublant encore, lorsque l'on clique sur ledit article, la date de celui-ci dans l'article est soit 6/4/2011 (à 23h30) soit 7/4/2011 (à 00h30), et cette date n'est en aucun lien apparent avec la date qui était mise à la page d'accueil =D. J'ai donc fait une liste avec les deux dates (sur la page d'accueil et sur l'article lui-même) pour tenter de comprendre la logique de cet événement :
Hier 9h10 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Hier 16h50 : 7/4/2011 - 7/4/2011
Hier 17h20 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Hier 19h25 : 7/4/2011 - 7/4/2011
Hier 21h11 : 6/4/2011 - 6/4/2011
Hier 21h45 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Hier 23h27 : 6/4/2011 - 6/4/2011
Ajd 10h50 : 7/4/2011 - 7/4/2011
Ajd 13h43 : 7/4/2011 - 6/4/2011
Ajd 20h10 : 6/4/2011 - 6/4/2011
Je veux bien accepter que le changement d'heure se cache derrière cette anomalie, mais ce qui ne me fait pas dormir, c'est qu'il n'y a aucune logique là-dessous, j'ai l'impression...
Notons que c'est le cas aussi pour l'article précédent entre 27/3 et 28/3, et que ces dates-là n'ont aucun lien apparent non plus avec celles de l'autre article.
François m'a dit lorsque je lui ai raconté ca que j'étais vraiment bizarre, mais moi je trouve plutôt cela bizarre de ne pas s’interroger face à un phénomène aussi extraordinaire.
Voilà voilà voilà, je vous laisse élucider ce mystère!

Contribution du : 23/04/2011 20:32
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Re : Finale maXi 2000 Question 3
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Je ne sais pas pourquoi mais avec ce site j'ai chaque fois eu des problèmes avec les changements d'heure. Ici il n'est pas passé à l'heure d'été et j'ai contrer cela en réglant manuellement sur GMT+2. On est donc officiellement sur le fuseau Athénien.

Sinon pour expliquer ton problème, c'est pas compliqué, c'est dû au cache. Va voir dans ton profil, tu es certainement mis sur le fuseau GMT+1. Les visiteurs sont eux réglés sur GMT+2 vu mon changement. Donc les visiteurs voient tout avec une heure de différence (d'ailleurs regarde les heures du forum, je parie que tu vois tout avec une heure de retard). Concernant les articles, il y a un cache, une mise en mémoire temporaire. Donc quand tu regardes tu voies une heure différente suivant que le dernier cache ait été fabriqué par une un inscrit sur GMT+1 ou un visiteur sur GMT+2. Fait venir un canadien sur le site, et là tu verra des heures encore plus farfelues.

Contribution du : 23/04/2011 20:42
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