Bonsoir,c'est pour savoir comment résoudre ce problème...

Quel est le reste de la division de 2 exposé en 2003 par 13?

Merci d'avance :)

Pour ce genre de question, il faut regarder ce qu'il se passe pour les premières puissances de 2. Si tu regardes les restes des divisions par 13 des premières puissances de 2, tu trouves :
2^0 -> 1
2^1 -> 2
2^2 -> 4
2^3 -> 8
2^4 -> 16 -> 3
2^5 -> 6 (tu peux multiplier 3 par 2, pas la peine de repartir de 16)
2^6 -> 12
2^7 -> 24 -> 11
2^8 -> 22 -> 9
2^9 -> 18 -> 5
2^10 -> 10
2^11 -> 20 -> 7
2^12 -> 14 -> 1
Et là si tu veux continuer, tu te rends compte que ca va être périodique. 2^0, 2^12, 2^24,... vont te donner 1. Le reste de la division de 2^n par 13 ne dépend donc que du reste de la division de n par 12. Or, on a 2003 = 166*12 + 11, donc le reste de la division de 2^2003 par 13 est le même que celui de la division de 2^11 par 13, et on a vu que c'était 7 (si je ne me suis pas trompé :))

La relation de congruence est très utile dans les problèmes d'olympiades. Pour info:

Pour a et b entiers,

par définition de la notation.

Pour fixé, la relation est une relation d'équivalence.
En effet, elle est réflexive (), symétrique () et transitive ( et implique que ).

Des propriétés intéressantes peuvent être utilisée:

Si et,

alors

et

C'est cette dernière propriété que Nicolas utilise dans le problème pour calculer la valeur des puissances de 2 juste en multipliant les restes successivement par 2 et en prenant leur valeur modulo 13.

Pour info, les restes de puissance d'un entier modulo n'importe quel autre entier sont toujours périodiques. Cela peut être très utile dans pas mal de problèmes de number theory.

D'où Nicolas a remarqué que la valeur de était périodique et la période était 12 (càd que

On remarque alors comme l'a bien fait Nicolas que

Merci mais je ne suis qu'en 3ème donc la plupart des trucs que vous faites pour trouver la solution sont impossible pour moi. :)

En fait je comprends pas comment passer de 2^7 à 24 à 11, et pareil pour ceux d'en dessous :)

Ah si je viens de comprendre, j'avais pris le mauvais nombre, merci beaucoup !

Oui , il est vrai que cette question n'est pas forcément facile à trouver .
Mais en suivant le développement ci-dessus , on se rend compte qu'en réalité c'est plutôt simple , à condition d'avoir la bonne technique .

Comment fait-on?

Je multiplie un naturel par celui qui le précède et par celui qui suit j'obtiens 2184. Quel est ce nombre?

J'ai trouvé la réponse en essayant chiffre par chiffre, n'y a-t-il pas une méthode? Merci.

Il y a plusieurs façons de procéder... Mettre en équation : Si tu appelles ton naturel , tu as , ce qui revient à . Le cube de doit donc être un petit peu plus grand que . En regardant un peu, on voit que et c'est donc la réponse. Ou alors, regarder les diviseurs de . On a . Il faut maintenant regrouper ces facteurs de sorte à avoir trois facteurs consécutifs. Un des facteurs doit être multiple de , et on se rend compte que si on prend autre chose que (minimum ), il nous sera impossible de construire des facteurs aussi grands avec le reste. Donc un des facteurs est . C'est donc , ou . Vu qu'il y a un facteur , il y a forcément et vu qu'il n'y a pas de , la réponse ne peut être que (et on peut le vérifier).