Bonjour à tous !

En relisant un recueil d'anciennes questions d'olympiades je suis tombé sur cette question, et j'ai – pour la 3ème fois au moins — passé une bonne demi-heure dessus ; sans succès, comme d'habitude. Trouver la bonne solution n'était pas le problème, car travailler par élimination est assez facile. Mais je n'arrive vraiment pas à trouver de preuve, alors je fais appel à l'équipe !

La question est :
Quel que soit l'entier n, s'il existe des entiers non nuls a et b tels que n = a²+2b², alors il existe des entiers non nuls p et q tels que n² =
(A) p²+q² ; (B) p²+2q² ; (C) p²+3q² ; (D) p²+4q² ; (E) p²+6q²
La bonne réponse étant (B).

Merci d'avance de m'aider à résoudre cette question qui résiste à mes tentatives bornées depuis des années.

Après une demi-heure de recherche, je me suis dit que j'allais rendre le problème plus difficile pour y voir plus clair (hum), à savoir montrer que le produit de deux nombres de la forme était aussi de cette forme.

Et en fait, on voit vite que :



A ce moment, on annonce à toute sa famille notre génie, puis on pose et puisque c'est ce qui nous intéresse, et on se rend compte qu'on a prouvé que



Avant d'aller chercher un couteau dans la cuisine pour se l'enfoncer dans le coeur, on se dit qu'on pourrait peut-être changer la place du signe moins, ce qui donne plutôt



Et qui devient



Wouhou! Reste plus qu'à se convaincre que les deux termes sont non-nuls. C'est évident pour le deuxième, et pour le premier, par l'absurde on aurait , donc et serait rationnel!

Certes, j'aurais pu te donner directement la formule mais je ne voudrais pas faire croire que je l'ai trouvée du premier coup :)

Et soudain je me sens très bête… tu me prêtes ton couteau ?

En tout cas, grand merci à mon sauveur.

J'ai quand même cherché une demi-heure à mettre



sous la forme



et je n'ai jamais trouvé de cette façon... Il fallait penser à mettre un moins quelque part quoi. Enfin de rien! Heureusement pour toi que j'ai trouvé dans un temps raisonnable car sinon j'aurais cherché pendant tout mon blocus et tu aurais été responsable de ma perte :p

Plus facile.

Par hypothèse on sait que:

On élève au carré et on développe:

Artifice de calcul: on change le signe du double produit et on ajoute ce qu'il faut pour compenser.


On écrit autrement pour faire apparaître les carrés.


On pose.


q est non nul car a et b sont non-nuls.
p est non nul, sinon et en décomposant en facteurs premiers on aurait un nombre pair de 2 à gauche et un nombre impair de 2 à droite.

Finalement CQFD

Ouai enfin si tu avais lu mon truc jusqu'au bout tu aurais vu que c'est exactement pareil que ce que j'ai fait. J'ai juste expliqué comment j'étais abouti à une telle décomposition, plutôt que de dire "par un artifice de calcul".

Nicolas a fait une version longue pour montrer sa démarche de recherche instructive. Crois bien que s'il avait voulu nous montrer une solution courte et élégante, elle n'aurait pas fait le quart de ce qu'il a écrit.

J'ai trouvé ma solution avant de lire, jusqu'au bout, celle de Nicolas Radu.

Je me suis rendu compte que j'arrivais exactement au même résultat, mais comme la démarche est plus simple et directe, je me suis dit qu'elle pourrait intéresser Victor Lecomte.

Ma solution est uniquement basée sur (x+y)² = (x-y)² + 4xy
Dans le cas particulier ou x=a² et y=2b², on voit très vite que 4xy = 8a²b² = 2(2ab)²

La solution de Nicolas n'est pas trouvable en 3 minutes, la mienne si avec un peu de chance. Je crois que c'est à ça que pensait celui qui a écrit la question (même si résoudre en travaillant par élimination est encore plus simple).
Je reconnais volontiers que je n'aurais probablement jamais pensé à résoudre le problème comme l'a fait Nicolas (ni été capable de le faire si j'avais essayé).

Mon "artifice de calcul" n'est pas tombé du ciel par hasard, c'est un truc classique que Nicolas utilise d'ailleurs aussi "sans le dire" en ajoutant les 2 doubles produits de signes opposés nécessaires pour justifier sa seconde égalité:
(a²+2b²)(c²+2d²)
=a²c²+2a²d²+2b²c²+4b²d²
=(a²c²+4abcd+4b²d²)+(2a²d²-4abcd+2b²c²) [==> "artifice" si évident qu'il n'écrit pas cette ligne]
=(ac+bd)²+2(ad-bc)²
Dans ce cas l'artifice ne mène à rien de nouveau, et il essaie avec une autre variante en échangeant les places des doubles produits ajoutés.

=(a²c²-4abcd+4b²d²)+(2a²d²+4abcd+2b²c²)
=(ac-bd)²+2(ad+bc)²
Qui cette fois permet de trouver la solution.

J'aurais pu écrire aussi: n²=(a²+2b²)²=(a²-2b²)²+8a²b²=(a²-2b²)²+2(2ab)² sans parler d'artifice de calcul.

Ce que je voulais dire, c'est qu'au final, tout le monde aura

Peu importe comment on y arrive, j'expliquais juste que je n'avais pas eu ton idée d'artifice et que j'étais parti d'une autre façon pour arriver à une telle décomposition.
Bref, on arrive à la même chose, ce n'est pas important