Bonjour, est-ce que quelqu'un sait comment démontrer que pi vaut à peu près 3,14156292.... et pas une autre valeur ? Idem pour e : pourquoi il vaut à peu près 2,718... et pas autre chose ?

Bonjour,

Il y a beaucoup de manières d'approcher , puisqu'il a beaucoup de définitions équivalentes différentes...
Ceci étant, une façon de l'approcher que j'apprécie particulièrement car elle est très visuelle, c'est d'essayer d'approcher le périmètre d'un cercle avec des polygones réguliers. Je m'explique.
Prenons un cercle de rayon 1 (de la sorte on sait par une des définitions de que le périmètre de ce cercle est ).
Maintenant, tu inscris un octogone régulier, disons, dans le cercle. On voit immédiatement que le périmètre de cet octogone est plus petit que le périmètre du cercle. Or, on peut calculer le périmètre de cet octogone assez facilement! En effet, si tu découpes cet octogone en 8 petits triangles identiques, tu vois qu'il s'agit de 8 fois le troisième côté d'un triangle isocèle de côté identique 1 et d'angle 45° compris entre les deux. De là, tu peux utiliser la formule de Pythagore généralisé (aussi appelé théorème d'Al-Kashi) qui te dit que la longueur du troisième côté est donnée par

Et tu trouves donc car
Donc ceci nous apprends déjà que .
Si tu prends ta calculatrice, cela donne

Cela ne nous donne qu'une borne inférieure pour , mais on peut procéder pareillement pour obtenir une borne supérieure, en construisant un octogone régulier qui soit à l'extérieur de ce cercle (qui ait ce cercle pour cercle inscrit, pour être plus précis).
Alors, à nouveau, tu peux calculer le périmètre de cet octogone facilement. Il s'agit de 8 fois le troisième côté d'un triangle isocèle de hauteur 1 et d'angle 45°. Si on appelle la longueur de ce côté recherché, on peut voir (en tracant la hauteur de longueur 1) que .
Encore faut-il connaître la valeur de mais ce n'est pas très compliqué d'obtenir le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle si on connait le sinus, le cosinus et la tangente de son double. Ici, on connait bien les valeurs pour 45° donc on peut trouver celle pour 22.5° en utilisant Carnot.
Résultat, on trouve que
Evidemment, je l'ai fait avec un octogone, mais tu peux maintenant le faire avec un polygone régulier à 16 côtés, puis 32 côtés, etc... et tu trouveras des approximations de plus en plus précises!
La formule générale que tu vas trouver, si tu prends un polygone à cotés, est :


En prenant , tu obtiens

En prenant tu obtiens

Ce qui a vraisemblablement l'air de se rapprocher de la vraie valeur de (Note : je ne sais pas où tu as été chercher ta valeur de mais elle m'a l'air un peu fausse )

Ceci étant, ce n'est certainement pas la méthode que les vrais mathématiciens utilisent pour trouver les décimales de , il y a des méthodes qui fonctionnent bien mieux. Mais tu peux toujours chercher sur internet, il y a beaucoup d'articles qui parlent de ce genre de choses.

Pour ce qui est de , je pense que c'est beaucoup plus simple car sa définition même est

En ne faisant la somme que des dix premiers termes disons, on arrive déjà à une bonne approximation de . Il ne s'agit que d'une borne inférieure évidemment mais il y a des résultats d'analyse qui permettent de trouver une borne supérieure également.

Pour info la théorie des séries de Fourier peuvent te donner des formules du type:




Mais utiliser cette formule s'avère laborieux car si tu additionne 100 termes tu n'obtiens qu'une approximation grossière de ().
La série converge très lentement, et l'article suivant te donne par exemple une méthode pour en accélérer la convergence: http://plus.maths.org/content/how-add-quickly