Bonjour, j'ai quelques questions qui me posent problème..pourriez-vous m'aider? Merci ! :)


1) Si x= racine de 1 + racine de 1 + racine de 1 + .... (le tout sous la même 1ère racine au départ) alors

La réponse est x²-x-1= 0

2) Les 3 solutions de l'équation 64x^3 - 114x^2 + 92x -15 = 0 forment une progression arithmétique. Que vaut la différence entra la plus grande et la plus petite des 3 solutions?

La réponse est 1

3)Si f est une fonction de R dans R telle que f(x)= 1 -f(x-1), alors f(x+1)=

La réponse est f(x-1)

4) Dans cette école internationale, 1/4 des élèves ne parle pas l'anglais, 1/3 ne parle pas l'espagnol et 1/12 ne parle aucune de ces 2 langues. Combien y a-t-il d'élèves dans l'école si 300 élèves parlent l'anglais et l'espagnol?

La réponse est 600

Et enfin

5) Dans 1/4 de cercle de rayon 1, on inscrit un cercle. Que vaut le rayon du cercle inscrit?

La réponse est racine de 2 - 1

Merci d'avance

Bonjour,

Voici des réponses à tes questions, j'espère que cela te sera utile!

1) Tu as , donc tu remarques que , ce qui est exactement la même chose que . Donc .

2) N'y aurait-il pas une erreur dans ton polynôme? Je n'ai pas l'impression que les racines de celui-ci soient en progression arithmétique. Sinon, en général pour résoudre un tel problème le mieux est de noter les solutions en question et d'utiliser que les coefficients du polynôme te donnent des informations sur et . Par exemple dans ton cas la somme des racines est et tu peux en déduire la valeur de . De même on sait que le produit des racines est et tu pourrais en déduire la valeur de . Sauf qu'il doit y avoir une erreur dans ton énoncé car on obtient une solution absurde.

3) On a , donc en remplacant par dans cette équation on obtient



On peut alors réutiliser la première équation pour remplacer , et on a




4) Notons le nombre d'élèves (la solution recherchée). On sait que élèves ne parlent pas anglais, ne parlent pas espagnol, et ne parlent aucune des deux langues. Donc si on veut compter le nombre de gens qui parlent anglais et espagnol, on peut se dire qu'il s'agit de (tout le monde), moins ceux ne parlant pas anglais, et moins ceux ne parlant pas espagnol. Mais alors on a enlevé deux fois les élèves qui ne parlent ni anglais ni espagnol, et il faut donc rajouter ceux-ci pour obtenir la bonne réponse. Donc on a finalement



d'où .

5) Le mieux serait de faire un dessin... Dessinons le cercle de rayon dans un repère orthonormé, en mettant son centre au point . On va essayer d'inscrire un cercle dans le quart de cercle qui correspond au premier quadrant (celui en haut à droite). Alors par symétrie du problème, le centre de ce plus petit cercle doit forcément avoir pour coordonnées quelque chose du type . Et vu qu'il doit être inscrit au quart de cercle, il faut que la distance entre ce point et l'axe des abscisses soit égal à la distance entre ce point et le grand cercle. On a évidemment , et pour on peut se convaincre qu'il s'agit du rayon du grand cercle moins la distance , c'est-à-dire . Donc par ce qu'on a expliqué plus haut, on doit avoir :









Et le rayon du petit cercle recherché n'est rien d'autre que , donc la réponse est .