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Clés pour les olympiades n°9 [Forum - Questions diverses] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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A
Clés pour les olympiades n°9
A
Bonjour à tous,


Il y a juste les exercices 3 et 8, j'ai des solutions partielles :

Pour le 3, par le principe des tiroirs appliqué deux fois, il y a au moins 3 points qui se situent dans un carré de côté 1/2 (si on décompose le carré initial en 4 carrés 1/2 x 1/2) et après il y a au moins deux points dans un demi-carré 1/2 x 1/2 (en traçant une des diagonales du carré 1/2 x 1/2).

J'ai donc soit les trois points dans un même demi-carré et donc on a un triangle de plus petite aire que celui qui définit le demi-carré (aire = 1/8) soit deux points dans un demi-carré et le troisième point dans l'autre demi-carré, et pour ce cas-là, j'aimerais montrer que l'aire est aussi plus petite que 1/8.

Pour le 8, je compte le nombre de multiples de 4, ceux +1, ceux +2, ceux +3, le nombre de multiples de 5, ceux + 1, ceux +2, ceux +3, ceux +4 et le nombre de multiples de 9, ceux+1,..., ceux +8 et j'applique le principe des tiroirs avec 70 objets et respectivement 51, 50, 50, 50, 41, 40, 40, 40, 23, 23, 23, 22, 22,..., 22 tiroirs (puisqu'on s'arrête dans les nombres à 200).

Est-ce un raisonnement correct svp ?

Contribution du : 15/08/2014 19:00
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Anonyme
Re : Clés pour les olympiades n°9
Anonyme
Svp, personne pour répondre ? Je suis coincé aussi :(

Contribution du : 19/08/2014 16:57
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anonyme
Re : Clés pour les olympiades n°9
anonyme
Pour l'exercice 3, les arguments sont bons mais il faut plutôt partir du carré décomposé en 8 rectangles 1 x 1/8, tu as alors au moins trois points dans les deux rectangles les plus à gauche et puis au moins deux points dans le premier rectangle et un point dans le deuxième rectangle.

Soit les trois points sont dans le premier rectangle et le triangle est plus petit que le rectangle d'aire 1/8, soit deux points dans le premier rectangle et un dans le deuxième rectangle forment aussi un triangle d'aire <= 1/8 (à vérifier)

Par contre, pour l'exercice 8, aucune idée pour démarrer, ton idée est fausse car tes tiroirs ne sont pas disjoints !

Contribution du : 30/08/2014 16:59
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A l'aide !!!
Re : Clés pour les olympiades n°9
A l'aide !!!
Exercice 8

On considère un ensemble de 70 entiers distincts tels que chacun ne dépasse pas 200. Montrer alors qu'il en existe deux dont la différence vaut 4,5 ou 9.

Contribution du : 30/08/2014 23:59
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Re : Clés pour les olympiades n°9
Groupe A
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03/10/2013 13:58
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OMI Groupe A
Post(s): 48
Un indice pour le 8, j'ai fait 209 tiroirs (modele KALLAX chez Ikea) et ai placé chaque nombre 3 fois.
PS : Je suppose qu'on travaille dans l'interval ]0;200] (ce serai bizarre et/ou faux sinon )

Contribution du : 31/08/2014 02:45
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A
Re : Clés pour les olympiades n°9
A
Merci beaucoup pour l'indice mais là, je suis complètement paumé, je ne comprends pas du tout l'idée...

D'où vient ce 209 ? Et ces nombres qu'on prend 3 fois ?

Contribution du : 31/08/2014 09:57
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A
Re : Clés pour les olympiades n°9
A
Merci beaucoup pour l'indice mais là, je suis complètement paumé, je ne comprends pas du tout l'idée...

D'où vient ce 209 ? Et ces nombres qu'on prend 3 fois ?

Contribution du : 31/08/2014 09:57
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alpha
Re : Clés pour les olympiades n°9
alpha
Pour l'exercice 8, j'ai considéré un tableau de 9 lignes et 23 colonnes où la dernière colonne n'est pas totalement remplie de sorte que :

Sur chaque ligne, on indique les nombres d'une même forme 9k+r avec k=0,...,22 et r fixé entre 0 et 8. Ainsi, les valeurs de r constituent les 9 lignes et les valeurs de k les 23 colonnes.

La dernière colonne n'est pas tout-à-fait remplie vu qu'on s'arrête à 200 (et je prends le zéro en compte).

Ainsi, par le principe, il y a au moins 8 nombres qu'on doit placer sur la première ligne. Soit il y a au moins deux de ces nombres situés sur deux colonnes voisines et le résultat en découle (on a alors une différence valant 9) soit on suppose qu'aucun nombre ne se situe juste à côté d'un autre (toujours en étant sur la même première ligne !). Dans le 2ème cas, on remplit les lignes 2,3 et 4 comme on veut (toujours en appliquant le principe des tiroirs pour savoir combien de nombres au moins il faut placer par ligne) et à partir de la 5ème ligne, on ne peut pas placer les nombres sur les mêmes colonnes que celles qui contiennent les nombres de la première ligne (sinon le résultat en découle, au moins une différence de 4 est atteinte). Idem avec les lignes 2,6 et 7, les lignes 3,7 et 8, les lignes 4,8 et 9 et les lignes 5,9. On se rend compte (quand les 70 nombres sont placés sur les 9 lignes) que le résultat sera forcément établi à un moment donné !

Qui peut valider mon raisonnement svp ?

Contribution du : 31/08/2014 10:55
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Re : Clés pour les olympiades n°9
Groupe A
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03/10/2013 13:58
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OMI Groupe A
Post(s): 48
Bon, petite explication.
On a 209 tiroirs numérotés de -3 à 205 (pourquoi être conformiste ?). On met dans les boites (donc 3 fois). Ainsi, on dispose 210 objets dans 209 tiroirs, il y en a donc minimum 2 dans une même boite. Leur différence est donc de 4, 5 ou 9 (pas 0 car on suppose qu'ils sont distincts).

Contribution du : 31/08/2014 18:34
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A
Re : Clés pour les olympiades n°9
A
Très joli mais alpha a-t-il raison aussi ?

Contribution du : 31/08/2014 18:39
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