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Triangles isométriques et semblables [Forum - Questions diverses] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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Béatrice
Triangles isométriques et semblables
Béatrice
Bonjour à tous, je suis bloqué dans deux problèmes où il faut faire appel aux triangles isométriques et semblables.

Sauriez-vous m'indiquer des pistes pour mes deux exercices car je tourne en rond, merci d'avance.


Problème 1 : Dans le triangle acutangle ABC, [AE] est bissectrice de l'angle BAC et [BD] est bissectrice de l'angle ABC. La droite CP est perpendiculaire à [BD] et la droite [CQ] est perpendiculaire à [AE]. Prouver que les segments [PQ] et [AB] sont parallèles.


Problème 2 : Soit un triangle ABC. Les points A1, A2 et B1, B2 se situent sur les côtés AC et BC respectivement et sont tels que CA1 = A1A2 = A2A et CB1 = B1B2 = B2B. Prouver que le triangle ABC est isocèle si on sait que les angles A1BA2 et B1AB2 sont égaux.

Contribution du : 02/02/2015 18:15
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Béatrice
Re : Triangles isométriques et semblables
Béatrice
Oups, dans le problème 1, j'ai oublié d'indiquer que P est sur BD et Q sur AE, sorry...

Contribution du : 02/02/2015 18:26
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Re : Triangles isométriques et semblables
Groupe A
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Pour le problème 1 :
en prolongeant CP et CQ, on repère deux pairs de triangles semblables. Les calculs de distance dans les uns sont donc valable dans les autres.
De plus, pour prouver que des droites sont parallèles, on peut prouver que les points d'intersection de deux perpendiculaires en deux points différents d'une des deux droites et les points d'intersection de ces deux perpendiculaires avec la deuxième droite forment des segments égaux (je ne sais pas si je suis clair ).

En choisissant bien ces segments et en faisant quelques calculs de trigo au bonne endroit, ça marche . Après ce n'est peut-être pas la façon la plus simple .

Si tu as encore des questions, si tu ne trouves pas ou si je ne suis pas clair n'hésite pas .

(pas d'idée pour le 2 pour l'instant)

Contribution du : 03/02/2015 17:32

Edité par Léo Schelstraete sur 3/2/2015 18:29:02
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Anonyme
Re : Triangles isométriques et semblables
Anonyme
Pour le 1, considère le point R intersection de PQ et de AC et le point D intersection de Bd et AC et regarde avec quel triangle le triangle RPD est semblable ça devrait aider

Contribution du : 03/02/2015 17:33
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Béatrice
Re : Triangles isométriques et semblables
Béatrice
Bonjour, merci pour vos réponses mais ça ne m'aide vraiment pas. Aussi, je ne vois pas pourquoi vos triangles sont semblables ? Quel critère utilisez-vous ?

Contribution du : 04/02/2015 10:17
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Re : Triangles isométriques et semblables
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Je réponds pour ma méthode, "anonyme" utilise de toute évidence une autre manière.

En prolongeant CP, on note X l'intersection de AB et de CP. Les triangles CPB et XPB sont alors isométriques (et pas que semblables comme je l'avais dit), car bissectrices,etc. Même chose pour CQA et YQA, où Y est l'intersection de CQ et AB.
On peut alors comparer les hauteurs issues de l'angle droit des triangles XPB et YQA, en les comparant plutôt dans les triangles CPB et CQA. Ce n'est alors qu'une affaire de bien manier ses formules de trigo .

(indice qui facilite beaucoup la tâche : si on note x l'hypoténuse d'un triangle rectangle et y et z les autres côtés, la hauteur h issue de l'angle droit et telle que h=yz/x)

Contribution du : 04/02/2015 13:37
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Béatrice
Re : Triangles isométriques et semblables
Béatrice
Merci beaucoup Léo mais je n'ai pas du tout appris la trigonométrie, je suis sensé réussir l'exercice juste en faisant appel à des notions et formules simples sur les angles (en plus des triangles isométriques et semblables) :(

J'apprécie toutefois ton idée avec les hauteurs mais je suis vite bloqué quand je veux comparer les deux hauteurs dans les triangles CPB et CQA !


Quelqu'un aurait-il réussi mon 2ème exercice svp ?

Contribution du : 04/02/2015 16:58
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Béatrice
Re : Triangles isométriques et semblables
Béatrice
Attends Léo, j'ai trouvé !!!


CPB et XPB sont isométriques, ce qui implique CP = PX.

De même, CQ = QY.

Par conséquent, les triangles CPQ et CXY sont semblables par le critère CAC (angle XCY en commun).

Et donc, PQ // XY !!!! Yessssssss


Maintenant, plus que l'exercice 2 svp !

Contribution du : 04/02/2015 17:19
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Re : Triangles isométriques et semblables
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C'est la solution que j'allais te proposer , bien joué !
Plus qu'à trouver le 2 .

Par ailleurs pourrais-tu me dire où tu as trouvé ces problèmes et dans quelle classe tu es pour que j'utilise seulement des choses que tu as vu ?

Contribution du : 04/02/2015 17:46
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Béatrice
Re : Triangles isométriques et semblables
Béatrice
Je suis en 4ème, j'avais trouvé ces problèmes dans clés pour olympiade numéro 14 je pense :p

Contribution du : 04/02/2015 19:04
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