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Différentes questions Demi-finales 2014 [Forum - Forum Demi-Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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Anonyme
Différentes questions Demi-finales 2014
Anonyme
Bonsoir à tous,

Quelqu'un pourrai-il me donner

- les possibilités (A B C D E)

-de la question 26 des demi-finales MINI: de combien de manières peut-on écrire 101 comme somme de trois carrés des naturels non nuls rangés dans l'ordre croissant ?


- de la question 10 des demi-finales MIDI 2014 :Lequel de ces nombres est la moyenne arithmétique d'un nombre naturel et de son carré

- l'explication pour résoudre la question 30 des demi-finales MAXI. Pour un entier naturel n,a_n (a indice n) désigne le nombre entier le plus proche de√n. On calcule 1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_2014 } et on simplifie au maximum. Quel est le dénominateur de la fraction obtenue ?

Merci beaucoup

Contribution du : 17/10/2015 23:12
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Re : Différentes questions Demi-finales 2014
Professeur OMI
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Je ne saurais pas t'aider pour les possibilités de réponses car je n'ai pas les questionnaires, mais pour la question 30 de maXi voici une solution :

Regardons les premières valeurs de : on a , , , , , , , , , , ...

On voit que les nombres apparaissent chacun plusieurs fois (et de plus en plus) dans la suite, ce qui fait que lorsqu'on écrit la somme des , on va pouvoir mettre ensemble plein de termes (tous les mis ensembles vont donner comme il y en a quatre, etc).

Donc l'idée est de se demander, pour chaque nombre , combien de fois il apparaîtra dans la suite .
- Pour avoir , il faut que l'entier le plus proche de soit , ce qui signifie que doit être compris entre et . Donc on doit avoir , ou autrement dit :



Comme on cherche les entiers, on en déduit que les nombres tels que sont exactement ceux de l'intervalle . Pour chaque , il y a donc exactement nombres tels que . Si on écrit la somme des , cela veut dire que va apparaître fois, va apparaître fois, va apparaître fois, etc. Or , , : ces fractions se rassemblent à chaque fois pour donner . Le seul moment où elles ne vont peut-être pas se rassembler, c'est à la fin de la suite : vers . Plus précisément, on a donc pour toutes les fractions , , ..., , on va avoir le phénomène ci-dessus qui va nous donner , mais par contre il n'y aura pas fractions comme on s'arrête plus tôt. Combien y aura-t-il de fractions ? Comme on l'a vu plus haut, on sait que si et seulement si est dans l'intervalle , c'est-à-dire . Mais nous on s'arrête à , donc on aura fractions . Au total, on en déduit que la somme des inverses vaut exactement :



et ceci donne une fraction dont le dénominateur est (et qui est complètement simplifiée).

(En espérant que je n'aie pas fait d'erreur de calcul)

Contribution du : 09/11/2015 09:40
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Anonyme
Re : Différentes questions Demi-finales 2014
Anonyme
Merci beaucoup pour les explications !!

Contribution du : 16/12/2015 20:34
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