Bonjour, je rencontre quelques difficultés dans certaines questions d'algèbre.

D12X26: combien de solutions admet l'équation x exposant 2012=2012 exposant x? (R: un nombre plus grand que 2 mais pas infini)

D12X28: combien existe-t-il de triplets (a,b,c) d'entiers strictement positifs vérifiant l'équation a au cube+ b cube= c exposant 4

D13X25: conbien y a-t-il de naturels k pour lesquels l'éqquation x carré +k carré x-12=0 d'inconnue x admet au moins une solution entière.

D13X22: Combien existe-t-il de nombres premiers p satisfaisant 2013!+1 strictement inférieur à p inférieur à 2013!+2013

Merci d'avance!

D12X26 : On utilise le théorème des valeurs intermédiaires sur la fonction
Pour , on a .
Pour , .
Pour , .
Pour , .

On a donc (au moins) une solution dans , une autre dans et enfin .

D12X28 : Il y en a une infinité : en chipotant un peu avec et , tu en trouvera déjà bien assez ...

D13X25 : Les solutions de sont



Afin qu'elles soient entières, on a besoin que



Soit un carré parfait. On a donc



Puisque sont des entiers naturels, on a



Avec .
D'où seulement certains restant à tester ...

D13X22 : Soit , on a



Or , n'est donc pas premier.

Tout d'abord un grand merci pour votre réponse. J'ai bien compris les trois derniers mais le premier me pose problème. Quel est ce "théorème des valeurs intermédiaires auquel tu fais référence?

Je ne comprends pas non plus comment tu as choisi les différentes valeurs de x et comment on peut être sur qu'il n'existe pas une infinité de solutions?

Une des version du théorème des valeurs intermédiaires est
Soit , une fonction continues sur telle que et sont de signes différents s'annule / a une racine sur .
En général, on voit ce théorème en 5e sans preuve.

Esquisser le graphe de et permet de trouver les endroit où devrait changer de signe
- tend vers quand tend vers
- est supérieur à n'importe quel polynôme quand tend vers
- est une 'parabole' très accentuée.

Pour prouver qu'il n'existe pas une infinité de solution, j'ai deux arguments :
- Le bon sens

- Remarquons que est infiniment dérivable.
Notons , sa 2013e dérivée.

Supposons que aies une infinité de racines.
Soit , une suite infinie croissante de racines.

Par le Théorème de Rolle, possède une infinité de racines .
En répétant l'argument, on a que possède une infinité de racines or ne s'annule jamais, contradiction ...

(Pour te 'convaincre' de ce résultat, essaye de tracer le graphe d'une fonction dérivable s'annulant en deux réels sans que sa dérivée ne s'annule )

Euh ok...
Je n'ai pas encore vu les dérivées donc le bon sens me semble le plus accessible

Une autre question qui ne m'avait pas effleuré: dans D13X25, comment tu choisis les valeurs de d? Je vois qu'elles sont toutes diviseurs de 48 mais alors pourquoi pas 1,2,4?

Euh ok...
Je n'ai pas encore vu les dérivées donc le bon sens me semble le plus accessible

Une autre question qui ne m'avait pas effleuré: dans D13X25, comment tu choisis les valeurs de d? Je vois qu'elles sont toutes diviseurs de 48 mais alors pourquoi pas 1,2,4?

Tu pourrais tester avec mais tu verrais que



Et ainsi .