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interrogation sur une question d'un questionnaire en ligne [Forum - Questions diverses] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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sebastien.radoux@yahoo.fr
interrogation sur une question d'un questionnaire en ligne
sebastien.radoux@yahoo.fr
Bonjour,

Je me pose une question concernant la question 29 du questionnaire maxi de la demi-finale 2019, publié sur votre site sous la rubrique "Questionnaires olympiade".

Cette question est ainsi libellée:

Les côtés d'un triangle ont des longueurs toutes différentes. Deux de ses médianes ont pour longueurs 3 et 6. Son aire vaut 3√15. Quelle est la longueur de la troisième médiane ?
A : 7
B : 8
C : 6 x racine carrée de 2
D : 6 x racine carrée de 3
E : 3 x racine carrée de 6

Le questionnaire indique que la réponse est E (3 x racine carrée de 6).

Je me demande (simple interrogation) si la réponse est bien exacte.

Pour ma part, je me suis basé sur la propriété suivant laquelle le point d'intersection des 3 médianes d'un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant. Dans l'exemple cité, il
faut donc trouver un triangle ayant une médiane de 1 (1/3 de la médiane de 3 visée dans la question), un côté partant de l'extrémité de cette médiane de 1 ayant une longueur de 4 (2/3 de la médiane de 6 visée dans la question) et une aire de √15 (1/3 de l'aire du triangle visé dans la question). Dans ce triangle, le côté partant de l'extrémité de la médiane de 1, autre que le côté d'une longueur de 4 dont question ci-dessus, équivaudra à 2/3 de la médiane dont il est demandé, aux termes de cette question 29, de trouver la longueur.

Sur cette base, j'arrive à la conclusion que, dans le triangle précité, le côté partant de l'extrémité de la médiane de 1, autre que le côté d'une longueur de 4 dont question ci-dessus, est également d'une longueur de 4, de sorte que la médiane dont il est demandé, aux termes de cette question 29, de trouver la longueur, a une longueur de 6 (4 x 3/2).

Ainsi:
- le triangle précité, construit à partir du tiers de la médiane de 3 visée dans la question, a une médiane de 1 (faisant également office de hauteur), deux cotés égaux de 4, situés de part et d'autre de cette médiane de 1, un dernier côté égal à 2√15, et une aire de √15.
- le triangle cité dans la question a deux médianes de 6, une médiane de 3 (faisant également office de hauteur), deux côtés égaux de √24, situés de part et d'autre de cette médiane de 3, un dernier coté égal à 2√15 (se confondant avec le côté de 2√15 du triangle précité), et une aire de 3√15.

Le problème est que le triangle visé dans la question a, sur base de ce calcul, alors deux côtés égaux de √24 (puisque deux médianes égales de 6), alors qu'il est précisé dans la question que le triangle a des côtés de longueurs toutes différentes.

Je n'aperçois toutefois pas d'autre solution et, en prenant la solution indiquée par la questionnaire (médiane d'une longueur 3√6),l'aire du triangle possédant une médiane de 3√6 et deux autres médianes de 3 et 6 est alors, sauf erreur, inférieure à l'aire indiquée dans la question (soit 3√15).

Pouvez-vous me donner plus d'explications ?

Je vous remercie d'avance pour votre réponse.

Contribution du : 14/10 10:15:22
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sebastien.radoux@yahoo.fr
Re : interrogation sur une question d'un questionnaire en ligne
sebastien.radoux@yahoo.fr
autant pour moi, le triangle ayant une médiane de 1 (le 1/3 de la médiane de 3 citée dans la question) et un côté de 4 (les 2/3 de la médiane de 6 citée dans la question) n'a pas nécessairement un autre côté de 4. Il y a en effet plus d'une possibilité pour le triangle, d'une aire de √15/2, ayant pour côtés, d'une part le 1/3 de la médiane de 3 citée dans la question, d'autre part les 2/3 de la médiane de 6 citée dans la question.

Parmi les 3 triangles ayant pour base un côté du triangle cité dans la question (triangle A) et pour sommet l'isobarycentre de ce triangle (point A), le triangle (triangle a) dont la médiane partant de ce point A est de 2 (le 1/3 de la médiane de 6 citée dans la question) et ayant un côté partant de ce point A de 2 (les 2/3 de la médiane de 3 citée dans la question) est plus intéressant. Le triangle (triangle b) ayant pour sommet A et pour côtés partant de ce sommet A, d'une part le côté de 2 du triangle a, d'autre part la médiane de 2 du triangle a, est isocèle et a une surface égale à la moitié du triangle a, soit une surface de √15/2.
Puisque le triangle b est isocèle, la moitié de la base du triangle b (moitié de la base désignée par x) est donnée par l'équation: x/2 x √(4-x²)= √15/4
Sur base de cette équation, (x²/2 - 1) = 1/4 ou -1/4, de sorte que x²= 5/2 ou 3/2. x peut donc être égal à √10/2 ou √6/2.

Si x = √6/2, le côté du triangle a partant du point A, autre que le côté de 2 équivalent aux 2/3 de la médiane de 3 du triangle A citée dans la question, est égal à:
√ ((3√6/2)²+(√10/2)²) = √16 = 4
La médiane du triangle A dont il est demandé de trouver la longueur a alors une longueur de 6 (4 x 3/2).
Dans ce cas, le triangle A est isocèle puisque il a 2 médianes de 6, ce qui ne correspond pas à l'énoncé de la question qui indique que les trois côtés du triangle A sont de longueur différentes.

Si x = √10/2, le côté du triangle a partant du point A, autre que le côté de 2 équivalent aux 2/3 de la médiane de 3 du triangle A citée dans la question, est égal à:
√ ((3√10/2)²+(√6/2)²) = √24 = 2√6
La médiane du triangle A dont il est demandé de trouver la longueur a alors une longueur de 3√6 (2√6 x 3/2).
Les médianes du triangle A sont alors toutes de longueurs différentes, et dès lors les côtés également, ce qui correspond à l'énoncé de la question.

Contribution du : 15/10 22:00:05
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