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Question 21 Maxi 2019 (44ème édition) [Forum - Forum Demi-Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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enki138
Question 21 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
Bonjour,

si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la solution de cette question. Merci.

Q21"soit r un réel non nul. Le polynôme du second degré P admet les deux racines r et 2r ; le polynôme du second degré Q admet les deux racines 2r et 3r ; leur différence D = P –Q admet les deux racines 2r et 4r. Quelles sont les racines de leur somme S = P + Q ? »

A = 2r et 6r
B = 2r et 5r
C = 2r et 5/2 r
D = 2r et -5/2r
E = 2r et -6r

La réponse est2r et 5/2 r.


Quelqu'un a une aide, une explication, une astuce?

Contribution du : 06/02 10:07:08
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Anonyme
Re : Question 21 Maxi 2019 (44ème édition)
Anonyme
Connaissant les racines de P et Q, on peut écrire les polynômes sous forme factorisée (avec a, b des coefficients réels) :

P = a(x-r)(x-2r)
Q = b(x-2r)(x-3r)

Dont on peut calculer la différence:

P-Q = a(x-r)(x-2r) - b(x-2r)(x-3r)
= (x-2r)[a(x-r) - b(x-3r)]
= (x-2r)[ax - ar - bx + 3br]
= (x-2r)[(a-b)x - (a-3b)r]

On sait que les racines de P+Q sont 2r et 4r : c'est déjà clair pour (x-2r), il reste à imposer que le deuxième terme [(a-b)x - (a-3b)r] soit multiple de (x-4r).

On peut par exemple égaler les coefficients et résoudre le système suivant :
(a-b)x = x
-(a-3b)r = -4r
Qui nous donne a = -1/2 et b = -3/2

Note : on aurait pu travailler avec n'importe quel autre multiple de (x-4r), par exemple (2x-8r). Cela nous aurait donné des coefficients a et b différents mais ça n'aurait pas changé les racines !

Maintenant pour trouver leur somme :
P+Q = a(x-r)(x-2r) + b(x-2r)(x-3r)
= (x-2r)[a(x-r) + b(x-3r)]
= (x-2r)[ax - ar + bx - 3br]
= (x-2r)[(a+b)x - (a+3b)r]

Comme on a trouvé des valeurs possibles pour a et b, il suffit de les remplacer dans cette expression pour trouver
P+Q = (x-2r)[-2x + 5r] qui a bien pour racines 2r et 5/2r !

Contribution du : 06/02 19:35:02
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enki138
Re : Question 21 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
Merci !

En plus les explications sont super claires

Contribution du : 06/02 19:51:14
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