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Question 25 Maxi 2019 (44ème édition) [Forum - Forum Demi-Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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enki138
Question 25 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
Bonjour,

si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la solution de cette question. Merci.

Q21"Sans réponse préformulée – Dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 24 et 60, est inscrit un rectangle dont un côté est contenu dans l’hypoténuse. Quelle est la valeur maximale de l’aire de ce rectangle ? »

La réponse est 360.

Quelqu'un a une aide, une explication, une astuce?

Contribution du : 06/02 10:12:31
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Xa
Re : Question 25 Maxi 2019 (44ème édition)
Xa
soit
- alpha l'angle opposé au coté qui fait 24 de longueur
- L la longueur du rectangle qui est parallèle à l'hypothénuse
- et b sa largeur, perpendiculaire à l'hypothénuse.

on peut calculer l'hypothénuse = 12*racine(29) et cos(alpha) = 5/racine(29) et sin(alpha) = 2/racine(29)

la surface du rectangle peut s'exprimer comme S = b*L
Exprimons b en fonction de L par quelques relations trigo avec le plus grand coté qui fait 60 :
b= sin(alpha)*(60- L*cos(alpha))

Du coup la surface vaut S= b*L = 120 * L/racine(29) - 10* (L²/29)

On voit que la surface passe deux fois par zero, une fois pour une largeur nulle et une fois pour une longueur nulle, il doit donc y avoir un maximum entre les deux cas.

on trouve ce maximum en dérivant par rapport à L et en égalant la dérivée à 0:
S'(L) = 120/racine(29) - 20*L/29=0 --> Lmax= 6*racine(29)

Par conséquent, S(Lmax) = 720-360 = 360.

Contribution du : 07/02 20:41:10
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enki138
Re : Question 25 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
belle idée de créer une fonction et de dériver pour trouver le maximum

Par contre j'ai un peu de mal pour suivre les relations trigo pour:

b= sin(alpha)*(60- L*cos(alpha))

Du coup la surface vaut S= b*L = 120 * L/racine(29) - 10* (L²/29

Seriez-vous m'éclairer?

Bonne journée

Contribution du : 08/02 09:38:20
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Xa
Re : Question 25 Maxi 2019 (44ème édition)
Xa
Faites un dessin, et projetez b et L sur le grand coté (coté horizontal qui fait 60), vous trouverez:

60 = L*cos(alpha)+b/sin(alpha)

Contribution du : 08/02 12:04:47
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enki138
Re : Question 25 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
merci pour vos belle explications.

Avec un dessin ça va mieux mais j'avais pas compris au début de décomposer le 60 et une somme de 2 segments.

Sinon pour la fin, à la place d'annuler la dérivé, on peut aussi prendre les coordonnées du sommet de la parabole (-b/2a;f(-b/2a))

Ca dépend la matière qu'on veut utiliser, mais les 2 fonctionnent très bien

En tout cas, un grand merci!

Contribution du : 08/02 13:00:18
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