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Question 28 Maxi 2019 (44ème édition) [Forum - Forum Demi-Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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enki138
Question 28 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
Bonjour,

si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la solution de cette question. Merci.

Q28"Sans réponse préformulée – Dans la figure (imprécise) ci-contre, ABCD est un carré et AGE un triangle isocèle en G. De plus, BF = 2CF. Que vaut la tangente de l’angle BAE ? »

Pour mieux visualiser le dessin : on a un carré ABCD (A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite et D en haut à gauche), G se trouve à droite dans le prolongement de AB. E se trouve sur le côté DC. EG coupe CB en F.


La réponse est 5.
Quelqu'un a une aide, une explication, une astuce?

Contribution du : 06/02 10:19:26
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Xa
Re : Question 28 Maxi 2019 (44ème édition)
Xa
Bonjour,
ici encore, un dessin est fort utile mais je n'ai pas la possibilité d'en importer.
Suivez les étapes de dessin ci-dessous et ça sera clair.
- A partir de E, tracez une verticale, qui coupe la droite AB en E'.
- à partir de E, tracez également une oblique qui coupe la droite AB en B' (B' à droite de E'), de façon à ce que le triangle AEB' forme un triangle isocèle avec AE et B'E les cotés égaux.

si on note c la mesure du coté du carré :
c = |AB|=|BC|=|CD|=|DE|
et d la mesure de la distance AE' :
d = |AE'|=|E'B'|
et b la mesure de la distance BG : b = |BG|

1. puisque par construction les triangle s BFG et CFE sont semblables, on peut en déduire que :
2 = |BF|/|FC| = |BG|/|CE| = b/(c-d) ==> b = 2*(c-d)

2. de même les triangles GAE et EAB' sont également semblables, on peut déduire que :
|GA|/|EA|=|EA|/|AB'| ==> |EA|² = |GA|.|AB'|
par Pythagore: |EA|² = |DE|²+|DA|² ==> d²+c² = (b+c).2d
en substituant b par l'expression trouvée en 1. on trouve

c²-6cd+5d²=0

3. La tangente qu'il faut trouver peut se noter t = c/d
En divisant l'expression en 2. par d², on trouve

t²-6t + 5 =0

Cette équation admet deux solutions :
une non-triviale t=5
et une triviale t=1 pour un angle de 45°
Note: cette dernière remplit également toutes les conditions, B, G et E' sont alors confondus et B' se situe à l'extérieur du carré.

Bien à vous,
Xavier

Contribution du : 09/02 11:52:17
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enki138
Re : Question 28 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
Merci... J'ai compris grâce à vos explications...

Mais je dis joli... car il fallait penser à aux triangles semblables pour même les triangles GAE et EAB'

Bravo

Bonne journée

PS: Allez, plus que 2 à trouver

Contribution du : 11/02 13:00:36
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