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Question 29 Maxi 2019 (44ème édition) [Forum - Forum Demi-Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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enki138
Question 29 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
Bonjour,

si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la solution de cette question. Merci.

Q21"Les côtés d’un triangle ont des longueurs toutes différentes. Deux de ses médianes ont pour longueurs 3 et 6. Son aire vaut 3racine carrée de 15. Quelle est la longueur de la troisième longueur »

A = 7
B = 8
C = 6racine carrée de 2
D = 6racine carrée de3
E = 3racine carrée de 6


La réponse est E.

Quelqu'un a une aide, une explication, une astuce?

Je suppose qu’il faut penser que les médianes se coupent au 1/3 et 2/3 et qu’elles partagent le triangle en 2 triangles de même aire ?

Contribution du : 06/02 10:25:19
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Xa
Re : Question 29 Maxi 2019 (44ème édition)
Xa
Cet exercice m’a donné un peu plus de fil à retordre, et je pense qu’il faut avoir une bonne pratique pour le résoudre dans le temps imparti. 😊
Encore une fois un dessin aide à la compréhension:
- Traçons d’abord un segment de droite horizontal qui fait 6 de long. Appelons l’extrémité droite A, un sommet du triangle, et l’extrémité gauche N, le croisement de la médiane partant de A avec le côté opposé.
- Etant donné que les médianes se croisent à 2/3 de leur longueur en partant du sommet, on peut indiquer le point médian M sur ce segment, à 2/3 de la longueur de la médiane, soit 4, en partant de A. On a donc que |NM|= 2.
- Pour fixer les idées, nous allons placer le sommet B dont part la deuxième médiane, qui fait 3 de longueur.
Ce sommet se situe à une distance de M égale à 2/3 de sa longueur, soit |BM| = 2. Schématiquement, on peut placer le sommet B en-dessous et à gauche de M, formant un angle d’environ 15° avec la verticale. (15° n’est pas le bon angle mais on ne le connait pas encore)
- Le sommet C, se situe dés lors en haut à gauche par rapport au point N, à même distance de N que B : |BN|= |NC|, qu’on peut noter a par facilité.
- On peut ainsi construire un triangle isocèle MNB, avec |MN| = |MB| = 2.
- Si on note alpha l’angle MBN, la surface de ce triangle vaut St = base *hauteur = (2* cos alpha)*(2*sin alpha) = 2* sin (2alpha). Remarquons que l’angle MNB vaut aussi alpha (isocèle).
- La surface de ce triangle vaut également la moitié la surface du triangle BMC, car ce dernier a la même hauteur, et une base |BC| deux fois plus grande.
- Comme vous l’avez mentionné, la surface totale du triangle ABC vaut 3x la surface du triangle BMC.
- On trouve du coup St= 3*racine(15)/6 = racine(15)/2 et par conséquent sin(2alpha)= racine(15)/4
- Si on cherche à trouver la longueur de la 3ème médiane, partant de C, on peut la calculer en remarquant qu’elle vaut 3/2*|CM|
Cette dernière peut se calculer avec la règle du cosinus dans un triangle quelconque pour CMN :
L’angle MNC est égale à pi-alpha.
Si on note a la longueur |CN|, la règle du cosinus peut s’écrire comme suit :
|CM|² = |CN|²+|MN|²-2|CN||MN|*cos(pi-alpha)
= a² + 2² + 2*a*2*cos(alpha)
On remarquera que a, la base du triangle isocèle, vaut a= 2*2*cos alpha
Dés lors, |CM|² = 4² cos² alpha + 2²+4*4* cos²alpha = 4+32 cos²alpha
- En utilisant la formule de l’angle double : cos² alpha = 0.5*(1+cos 2alpha), on trouve finalement
|CM|² = 4+32 *(1+ cos 2 alpha)/2 = 4+ 16*(1+racine (1- sin² (2alpha))) = 4+ 16*(1+ racine (1-15/16))=4+16*(1+1/4) = 4+4*5=24
- La distance |CM| vaut donc
|CM| =racine( 24) = 2*racine(6) et la longueur de la médiane vaut 3/2*|CM| = 3*racine(6)
Ce qui est la réponse E.

Bonne journée
Xavier

Contribution du : 14/02 08:37:31
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enki138
Re : Question 29 Maxi 2019 (44ème édition)
enki138
une nouvelle fois, bien joué...
Fallait réussir a faire le dessin et surtout penser à utiliser beaucoup d'outils différents...

Merci pour les explications.

Bonne journée

Contribution du : 15/02 12:26:14
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