Bonjour,

si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la solution de cette question. Merci.

Q28"Sans réponse préformulée – Quatre voitures roulent sur la même route, chacune avec sa propre vitesse constante. La Mercedes dépasse la Ferrari à 13h00 puis croise la Porsche à 14h00 et la BMW à 15h00. Cette dernière croise la Ferrari à 15h30 et dépasse la Porsche à 16h00. Combien de minutes avant minuit la Porsche croise-t-elle la Ferrari ? »


La réponse est 560.

Quelqu'un a une aide, une explication, une astuce?

Etant donné que les véhicules se déplacent à vitesse constante, on peut poser la formule générale suivante :

xi(t)=xi,0 + vi * t

avec t en heures.
pour i = M, F, P, B (respectivement pour la Mercedes, la Ferrari, la Porsche et la BMW)

Sans perte de généralité, on peut poser que xM,0 =0
Les équations qui décrivent les dépassement ou croisements sont les suivantes :

(1) xM(13)= xF(13) ==> 13 (vM – vF )= xF,0
(2) xM(14)= xP(14) ==> 14 (vM – vP )= xP,0
(3) xM(15)= xB(15) ==> 15 (vM – vB )= xB,0
(4) xB(15.5)= xF(15.5) ==> 15.5 (vF – vB )= xB,0 – xF,0
(5) xB(16)= xP(16) ==> 16 (vP – vB )= xB,0 – xP,0

on voit qu’on a 5 équations mais toujours 7 inconnues.
La solution est possible car ce qui est demandé est une expression réduite :
On cherche le temps en heures : tm = 24- (m/60) avec m le nombre de minutes avant minuit, tel que
xF(tm )= xP(tm) ==> tm = (xF,0 – xP,0 )/( vP – vF)

Simplifions en utilisant un paramètre réduit :
wi = vi – vM pour i = F, P, B

On trouve
(1) xM(13)= xF(13) ==> - 13 wF = xF,0
(2) xM(14)= xP(14) ==> - 14 wP = xP,0
(3) xM(15)= xB(15) ==> - 15 wB = xB,0
(4) xB(15.5)= xF(15.5) ==> 15.5 (wF – wB )= xB,0 – xF,0
(5) xB(16)= xP(16) ==> 16 (wP – wB )= xB,0 – xP,0

on recherche
tm = (xF,0 – xP,0 )/( wP – wF)
en utilisant les relations en (1) et (2), on trouve :
tm = (14 wP – 13 wF )/( wP – wF) = 13 + (wP /( wP – wF))

en utilisant les relations (1) + (4) = (3), on trouve :
xB,0 – xF,0 + xF,0 = 15.5 (wF–wB )- 13 wF = -15wB
==>5 wF = wB

en utilisant les relations (2) + (5) = (3), on trouve :
xB,0 – xP,0 + xP,0 = 16(wP – wB ) - 14 wP = -15 wB
==> 2 wP = wB

finalement, on trouve que
5 wF =2* wP
et par conséquent que tm = 13+(2.5/1.5) =44/3

Le nombre de minutes avant minuit est dès lors :
m = 60*(24-tm ) = 60*(72-44)/3 =20*28=560 minutes

Bonne journée
Xavier

et ben , fallait y penser...

Merci pour le temps passé à rédiger les solutions et vos explications claires et détaillées.

Bonne journée