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FINALE MAXI 2008 - Question 1 [Forum - Forum Finale] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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FINALE MAXI 2008 - Question 1
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FINALE MAXI 2008 - Question 1

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Contribution du : 30/04/2008 19:42
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Anonyme
Re : FINALE MAXI 2008 - Question 1
Anonyme
Bonsoir,

Je me demandais juste si le fait que r = (a+b-c)/2 dans un triangle rectangle est admis, ou est à démontrer... en ce qui me concerne je l'ai démontré par p/2 * r = A mais je me demande si c'etait très utile...

Merci d'avance

Contribution du : 30/04/2008 19:56
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Re : FINALE MAXI 2008 - Question 1
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Tout ce que tu risquais, c'était que le correcteur de cette question te retire l'un ou l'autre point parce que tu ne l'avais pas démontré.

Contribution du : 30/04/2008 20:00
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Nicolas
Re : FINALE MAXI 2008 - Question 1
Nicolas
Voici ma solution :

(A) Si et sont les longueurs des deux autres cotés du triangle, alors nous avons :

De plus dans un triangle rectangle, l'hypothénuse n'est autre que le diamètre du cercle circonscrit au triangle. Dès lors,

Montrons aussi que la longueur du rayon du cercle inscrit respecte dans tout triangle rectangle :

la formule (A étant l'aire du triangle) étant connue, on a :

En remplacant par , on obtient alors




Ce qui est toujours vrai vu que par Pythagore, .
On a donc bien
Calculons alors :



On a donc bien démontré l'égalité demandée.

(B) Comme nous l'avons démontré précédemment,



Il nous faut donc maximiser .
Elevons cette expression au carré :
par Pythagore

Or, est toujours inférieur ou égal à . Effectivement :


Donc nous avons logiquement et il y a égalité lorsque
Le maximum de est donc ce qui implique directement que le maximum de est et donc, comme
,
avec égalité lorsque , c'est à dire lorsque le triangle est rectangle isocèle.

Contribution du : 01/05/2008 13:23
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