Bonjour à tous,

en feuilletant les exercices des années précédentes, je suis tombé sur des exercices tels que :
"Si l'on calcule le produit de 2^2005*5^2006, on obtient un très grand nombre, quelle est la somme de tous ces chiffres?" ou "Quel est le reste de la division de 3^1999 par 11?"
Je ne vois pas comment les résoudre.
Quelqu'un pourrait-il m'aider?

Bonsoir,

Il faut souvent manipuler un peu les expressions pour réussir à résoudre ce genre de questions. Par exemple, 2^2005*5^2006 = 5*10^2005, ou 3^1999=3^4*(3^5)^399. Dans le premier cas, on connaît donc facilement tous les chiffres du nombre ; dans le second, il faut remarquer que le reste de la division de 3^5 par 11 vaut 1, et qu'il en est par conséquent de même pour toute puissance de ce nombre.

Bonne chance aux participants de l'OMB !

Pour le premier, on peut se rendre compte que 2^2005*5^2006 = 5*(2*5)^2005 = 5*10^2005 qui est le chiffre 5 suivi de 2005 zéros. Et la somme de ses chiffres est donc 5.
Pour le second, il est bon de regarder les restes de la division des premières puissances de 3 par 11 :
3^0 : 1
3^1 : 3
3^2 : 9
3^3 : 27, reste 5
3^4 : 81, reste 4
3^5 : 243, reste 1
Et comme 3^6 = 3^5 * 3^1, 3^7 = 3^5 * 3^2, et ainsi de suite, ce sont toujours les mêmes restes qui vont revenir en boucle : 1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, ...
On remarque que le reste est 1 à chaque fois où l'exposant est divisible par 5 (3^0, 3^5, 3^10, 3^15...), et donc on va avoir pour restes après division par 11 :
3^1995 : reste 1
3^1996 : reste 3
3^1997 : reste 9
3^1998 : reste 5
3^1999 : reste 4
3^2000 : reste 1
Ce qui donne 4 comme réponse au deuxième problème.