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Question 30 Maxi 2010 [Forum - Forum Éliminatoires] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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Jean Delanoix
Question 30 Maxi 2010
Jean Delanoix
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre la dernière question de l'éliminatoire maxi 2010.

"Soit p un nombre premier impair. Combien de couples (x,y) d'entiers vérifient x² - y² = p²".

Merci d'avance

Contribution du : 07/03/2010 14:09
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anonyme
Re : Question 30 Maxi 2010
anonyme
si tu prends, p. ex., p = 3, tu as comme couples possibles:
(5;6) (-5;6) (5;-6) (-5;-6) (3;0) (-3;0)
=> 6 couples

Contribution du : 08/03/2010 16:28
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Re : Question 30 Maxi 2010
Groupe Z
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x² - y² = p²
<=>(x-y)*(x+y)=p²
Comme p est premier, on peut écrire p² = 1*p² ou (-1)*(-p²) ou p*p ou (-p)*(-p) ou p²*1 ou(-p²)*(-1). Et puis il faut juste encore vérifier que toutes ces solutions sont acceptables.

Contribution du : 08/03/2010 17:14
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Re : Question 30 Maxi 2010
Webmestre
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Comme le fait remarquer Mélanie, x-y doit être un diviseur de p² (c'est-à-dire -p², -p, -1, 1, p ou p²) et x+y doit alors être le diviseur complémentaire. Cela donne six petits systèmes d'équations (en x et y) à résoudre.

Contribution du : 08/03/2010 18:31
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