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Clés pour les olympiades dans les revues Losange [Forum - Questions diverses] Informations | BxMO 2017 | SBPM  


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anonyme
Clés pour les olympiades dans les revues Losange
anonyme
Bonjour,


Je ne sais pas à qui s'adresser pour demander si quelqu'un a l'intention de publier les solutions aux problèmes posés dans les rubriques Clés pour les olympiades svp ?

Je suis bloqué pour montrer avec l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques (MA-MG) que pour a,b,c,d réels strictement positifs, on a :

sqrt( (a^2+b^2+c^2+d^2)/4 ) >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)


Le membre de gauche me fait penser à la moyenne quadratique (MQ) de 4 nombres et je dis qu'elle est supérieure ou égale à la moyenne arithmétique des 4 nombres, ce qui donne MQ >= MA

avec MA = (a+b+c+d)/4 mais alors je voudrais faire apparaitre trois fois chaque terme de la somme, ce qui donne

MA = (a+b+c)/12 + (a+b+d)/12 + (a+c+d)/12 + (b+c+d)/12

et j'arrive alors à

MA >= (1/4) [(abc)^(1/3) + (abd)^(1/3) + (acd)^(1/3) + (bcd)^(1/3)]

avec l'inégalité MA-MG

et après, une somme de racines cubiques de n nombres est >= à la racine cubique de la somme des n nombres.


Mais il faudrait après que le 4 dans (1/4) soit dans la racine cubique et là, je coince en ayant essayé de chipoter avec les coefficients dans MA et d'autres valeurs que 12 au dénominateur et rien n'y fait, je suis coincé à ce niveau-là...

Sauriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

Contribution du : 31/07/2014 00:29
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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
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Bonjour !

Je ne crois pas que toutes les solutions des clés pour les olympiades seront publiées un jour mais quelqu'un pourra toujours t'aider si tu as des difficultés.

J'ai fait les 2 clés pour les Olympiades sur MA-MG.

C'est vrai que ce problème est difficile.
Je ne sais pas si on peut améliorer ce que tu as fait.
J'en ai une solution assez moche et j'avais cru en avoir une très élégante mais en la relisant elle s'est avérée... fausse.
Tu auras donc droit à la version moche !

Je vais la mettre en entier car je ne vois pas vraiment comment donner des conseils pour te mettre sur la voie.

Soit


Or, et (puisque MGMA).

Donc,

Or, cette expression est la MG de , et .
Elle est donc à la MA de ces 3 expressions.

C'est à dire, qui est la moyenne arithmétique de a, b, c et d !

Et finalement puisque cette moyenne quadratique de a, b, c et d est supérieure à la moyenne arithmétique de a, b, c et d.

Contribution du : 31/07/2014 18:18
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anonyme
Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
anonyme
Merci c'est super clair mais je suis énormément dégoûté de ne pas avoir trouvé une solution tout seul :(

Contribution du : 01/08/2014 00:20
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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
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Il n'y a pas de soucis à se faire.

Je trouve aussi cet exercice plus difficile que d'autres comparables.
J'avais été tout content en le refaisant plus facilement mais ma démonstration était fausse (je faisais un truc du genre a <= b <= c >= d sans m'en rendre compte).

Je crois que la clé est d'essayer les groupements au tout début (ce qui n'a pas l'air très utile pourtant).

De là, on peut appliquer MA-MG.

Puis, on sait factoriser, et on obtient un produit de 3 facteurs !
De là, on sait utiliser la racine cubique pour faire MA-MG et la suite vient plus facilement.

Il ne faut pas se décourager si on n'arrive pas à résoudre facilement ce genre de problèmes, c'est d'un niveau élevé.

Et ça paraît souvent évident... une fois qu'on a la réponse

Contribution du : 01/08/2014 10:17
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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
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Je me permets de proposer une autre solution.

On va en fait prouver l'inégalité
(a+b+c+d)/4 >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)
et l'inégalité demandée en découlera (cf. fin de la preuve de Damien).

On va utiliser le fait que l'inégalité est homogène. En effet, les deux membres sont homogènes de degré 1 : lorsqu'on remplace (a,b,c,d) par (ka,kb,kc,kd) on multiplie les deux membres par k, et l'inégalité est inchangée.

Pour les inégalités homogènes, une technique un peu calculatoire mais souvent très efficace consiste à utiliser l'inégalité de Muirhead (voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Muirhead dont j'utiliserai la notation).

L'inégalité est équivalent à
(a+b+c+d)^3 >= 16 (abc+abd+acd+bcd)

Le terme abc+abd+acd+bcd est égal à 4[1,1,1,0].
Le terme (a+b+c+d)^3, après expansion, peut s'écrire
4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0].

L'inégalité devient alors
4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0] >= 64[1,1,1,0]
qui est équivalente à
4[3,0,0,0]+36[2,1,0,0] >= 40[1,1,1,0]
qui est vraie puisque [3,0,0,0]>=[1,1,1,0] et [2,1,0,0]>=[1,1,1,0]
(par majorisation).

Un challenge pour terminer : l'inégalité
(a+b+c+d)/4 >= ( (abc+abd+acd+bcd)/4 )^(1/3)
est aussi équivalente à
( (a+b+c+d)/4 )^3 >= (abc+abd+acd+bcd)/4
ou encore
( (a+b+c+d)/4 )^3 >= abcd (1/a+1/b+1/c+1/d)/4
et donc
( (a+b+c+d)/4 )^3 4/(1/a+1/b+1/c+1/d) >= abcd
En posant MA la moyenne arithmétique, MG la moyenne géométrique et MH la moyenne harmonique on réécrit
MA^3 MH >= MG^4
Question : cette inégalité est-elle aussi vraie pour un nombre quelconque de variables ? Et sinon, comment la généraliser ?

Contribution du : 01/08/2014 23:11
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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
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Merci pour la solution avec l'inégalité de Muirhead.
C'est vrai que c'est une technique efficace mais calculatoire.

Dans ce cas ci, il faut bien maîtriser le sujet et être très concentré pour arriver à prouver que
(a+b+c+d)^3 = 4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0]
On a vite fait de s'embrouiller en calculant les coefficients.

Je pense que Muirhead est vraiment difficile à comprendre seul quand on est en secondaire.
Ça reste difficile même avec ce que nous avons vu à Wépion.

Il ne faut pas oublier que le problème traité ici provient de "Clés pour les Olympiades n°6".
Il n'y a que 2 pages et on y explique seulement les moyennes arithmétique et géométrique.
Rien à propos de la moyenne harmonique ni à propos de Muirhead.

Concernant le challenge, vu comment la question est posée, je pensais que l'inégalité n'était probablement pas vraie pour un nombre quelconque de variables et qu'il faudrait trouver un contre-exemple puis trouver comment adapter pour généraliser.
Mais malgré plusieurs essais, je n'ai encore trouvé aucun contre-exemple, et je commence à penser que l'inégalité est peut-être vraie.
Je vais encore y réfléchir.

Contribution du : 02/08/2014 14:44
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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
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Concernant l'égalité
(a+b+c+d)^3 = 4[3,0,0,0]+24[1,1,1,0]+36[2,1,0,0],
elle n'est en fait pas très compliquée à trouver. Le coefficient de chaque "crochet" est simplement égal au nombre de termes dans l'expression qui ont cette forme. Le coefficient de [3,0,0,0] sera donc le nombre de termes du type x^3 (il y en a clairement 4), le coefficient de [1,1,1,0] est le nombre de termes du type xyz. On peut se dire que dans
(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d),
on a 4 choix de variables dans la première parenthèse, puis 3 choix dans la deuxième (comme on ne peut prendre la même que dans la première), puis 2 dans la dernière, d'où 4*3*2 = 24.
Et puis pour le coefficient de [2,1,0,0] (termes du type x^2 y), on doit prendre deux fois la même variable x et une fois une autre y : on a 3 possibilités pour le choix de la parenthèse dans laquelle on prend la variable unique, puis 4 choix pour la variable unique et 3 choix pour la variable double, d'où 3*4*3 = 36.

Bref, un peu de chipotage pour dire que tu n'es pas obligé de trouver les 64 termes pour trouver les coefficients :)

A part ça, je ne pense pas que l'inégalité de Muirhead doit vous effrayer, elle est vraiment simple à retenir et pas beaucoup plus compliquée à appliquer. Bon c'est sûr qu'il faut s'y faire mais sinon...

Contribution du : 02/08/2014 17:34
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anonyme
Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
anonyme
Bonjour,


Merci à tous de m'avoir aidé et merci aussi pour les informations supplémentaires.

Je me demandais juste pourquoi on s'intéresse à savoir si une inégalité est homogène ou pas ?

L'inégalité de Muirhead est-elle applicable dans une inégalité non homogène ?

Je reconnais que l'outil est hyper efficace !

Contribution du : 02/08/2014 20:18
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Re : Clés pour les olympiades dans les revues Losange
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Oui, c'est certain qu'il ne sert à rien de tout développer.
Le comptage des coefficients n'est pas bien compliqué en soi, mais il faut être concentré, on a vite fait de se tromper d'un facteur 2.
Après, on s'y fait.

Muirhead n'est pas si difficile à utiliser, mais il faut bien se rappeler de son fonctionnement, de l'homogénéité, de la symétrie (et des bricolages pour s'en passer), ...
Il y a aussi l'inégalité de Schur qui se combine bien avec Muirhead, mais il faut savoir que ça existe (après, c'est assez simple).

Il faut surtout avoir de l'habitude.
Je n'avais plus fait d'inégalités avancées depuis assez longtemps et une bonne révision était nécessaire.
Des choses comme Muirhead, ou pire Hölder et Minkowski demandent de bien s'en rappeler, sinon on peut faire n'importe quoi (et malheureusement, n'importe quoi est rarement correct ).

Pour "anonyme": non, Muirhead n'est pas directement utilisable pour simplifier une inégalité non homogène.
On peut s'en servir pour majorer (ou minorer) une somme symétrique (si on permute les variables, rien ne change) de termes de degré d, par une autre somme symétrique de termes du même degré d.
Par exemple on sait par Muirhead que (x^4/y + y^4/x) >= (x³ + y³) >= (x²y + xy²) pour x,y réels positifs, car ces 3 expressions sont symétriques de degré 3.
Mais Muirhead ne permet pas de comparer ces 3 expressions à x²y² (pas de degré 3) ou à x^5/y^2 (pas symétrique).
On ne peut pas comparer ce qui n'est pas comparable.

Contribution du : 02/08/2014 22:21
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