FINALE MINI 2008 - Question 3

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Le nombre de pépites que j'ai trouvées n'est autre que :

Tout d'abord comme il me faut prendre la moitié du poid total, il faut que soit pair.
Pour cela il faut que ou soit multiple de 4.
Ma femme ne veut couper aucune pépite (Allons savoir pourquoi). Montrons donc qu'il y a moyen de prendre grammes à partir de pépites de grammes.
Il suffit à ma femme de répéter l'étape qui suit jusqu'à avoir le bon compte :
Soit le poids d'or qu'il lui faut encore (si elle n'a pas encore pris de pépite, , si elle en a déjà, vaut diminué du poids total des pépites déjà en sa possession).
Il y a alors deux possibilités :
- Soit il y a encore une pépite de grammes, auquel cas il suffit de la prendre et elle a terminé.
- Soit est supérieur au poids de la pépite la plus lourde restante, auquel cas on prend la pépite la plus lourde et on recommence cette étape.

Un petit exemple ne faisant jamais de tort, si , il y a alors grammes d'or et ma femme en veut .
Elle prend d'abord la pépite de grammes, ensuite celle de grammes, puis comme il ne lui faut plus qu' gramme, elle peut prendre la pépite d' gramme.

En voie de conséquence, il faut que n ou n+1 soit divisible par 4 pour permettre à ma femme de prendre la moitié du poids de MES pépites.

le partage est donc possible pour et , mais pas pour . Et en général, on a