FINALE MAXI 2008 - Question 4

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Remarquons tout d'abord que
. Comme et sont des entiers divisibles par 6, nous en concluons que est également un entier divisible par 6, donc est un entier divisible par 3.
Remarquons également que, pour ,

.
(a), , sont des entiers. Or la somme est divisible par 6. Un de ces trois nombres est donc pair et donc le produit l'est également. Nous nous retrouvons donc dans les mêmes conditions que les parties (b) et (c) du problème.
(a+b+c) Pour et , l'énoncé nous dit que X^n+Y^n+Z^n est un entier multiple de 6.
Pour , en utilisant la formule écrite précédemment, nous voyons que est une somme d'entiers multiples de 6 (en effet, , et sont des entiers multiples de 6 et les autres facteurs sont entiers). Nous en concluons que est également un entier multiple de 6.
Pour , en utilisant de nouveau la formule, nous voyons que est également une somme d'entiers multiples de 6 (cette fois , et sont des entiers multiples de 6 et les autres facteurs sont entiers). Nous en concluons que est également un entier multiple de 6.

Notons que nous pourrions aussi procéder en considérant l'identité quelque peu volumineuse ci-dessus et en effectuant essentiellement la même récurrence complète

C'est exactement la même expression à part que tu remplaces par et par .