Cet article est une aide aux participants à la finale de l'Olympiade. Il présente la bonne manière de répondre aux problèmes de l'épreuve finale.
L'épreuve finale de l'Olympiade Mathématique Belge est très différente des épreuves précédentes. En effet, si les épreuves éliminatoire et demi-finale présentent des questions à choix multiples dont seule la réponse finale compte, une épreuve finale demande la rédaction complète de démonstrations. Vous devez non seulement arriver à trouver la réponse, mais également justifier toute la démarche mathématique qui permet de prouver que la réponse proposée est bien correcte. C'est la qualité des preuves proposées qui sera prise en compte pour déterminer les candidats primés. Ainsi, beaucoup d'entre vous peuvent penser en sortant de l'épreuve avoir trouvé la bonne réponse, alors que les preuves que vous avez proposées sont incomplètes, incorrectes, voire absentes, et de ce fait ne vous donneront droit qu'à une partie des points au maximum.
Nous vous proposons dans cet article d'analyser une question de finale de l'Olympiade et de détailler les différents solutions qui peuvent être proposées par des concurrents. Pour chaque solution, une estimation du nombre de points que pourrait rapporter cette solution est présentée et expliquée. Ces points ne représentent pas nécessairement de véritables points donnés, mais permettent de montrer la valeur que le jury pourrait attribuer aux différentes solutions proposées.
Nous allons étudier la partie (a) de la question 3 de la finale MINI 2012. Nous allons supposer que cette question est notée sur 10 points, et que la partir (a) représente 4 points sur 10. Nous allons regarder la solution de cinq concurrents, Arthur, Baptiste, Clara, Damien et Emma, et leur attribuer une note de 0 à 4 pour cette partie de question.
Justin souhaite fixer cinq documents rectangulaires (de dimensions quelconques), éventuellement superposés, partiellement ou totalement, à un tableau métallique rectangulaire en plaçant des aimants, cela de sorte que chacun des documents soit coincé entre le tableau et trois aimants au moins. (a) Dans le cas de la disposition suivante des cinq documents, combien d'aimants doit-il utiliser au minimum? 
Même si vous avez trouvé la réponse, répondre correctement à un telle question n'est pas aussi simple qu'on pourrait le penser. En effet, il est demandé de trouver un nombre qui soit un minimum selon certaines conditions. Une preuve mathématique complète devra obligatoirement présenter trois éléments :
- donner ce nombre (1 point sur 4) ;
- prouver que ce nombre fonctionne (1 point sur 4) ;
- prouver que ce nombre est bien un minimum, c'est-à-dire qu'un nombre plus petit ne pourrait fonctionner (plus difficile, 2 points sur 4).
Regardons les différentes copies.
Solution proposée par Arthur :
Il faut 9 aimants au minimum.
Arthur a donné la bonne réponse. Il fait donc mieux qu'un concurrent qui aurait remis feuille blanche et reçoit 1 point pour cela. Cependant, il ne donne absolument aucune preuve de sa réponse. Il ne montre même pas qu'il est possible d'attacher les documents avec ces 9 aimants.
Total des points pour la solution d'Arthur : 1 point sur 4
Solution proposée par Baptiste :Il faut 9 aimants au minimum. 
Baptiste donne un élément de preuve grâce à son dessin. Il montre une façon possible de placer les 9 aimants, et donc prouve que 9 est un nombre qui convient. Cependant, cette preuve est incomplète. Il ne prouve nulle part que 9 est bien un minimum. Pour que sa preuve soit complète, il faudrait prouver que ce n'est pas possible avec seulement 8 aimants.
Total des points pour la solution de Baptiste : 2 points sur 4
Solution proposée par Clara :Il faut 9 aimants au minimum, en les plaçant comme sur le dessin : 9 est bien le nombre minimum d'aimants, car si on en retire un, l'un des documents n'est plus attaché par 3 aimants.
Clara, comme Baptiste, donne la réponse ainsi qu'une façon possible de placer les aimants. Il y a aussi une tentative de preuve que 9 est bien un minimum. Malheureusement, cette preuve est incorrecte. Clara montre que, à partir de la solution particulière qu'elle a trouvée pour 9 aimants, il n'est pas possible d'en retirer un. Cela ne prouve pas qu'il n'existe pas d'autres possibilités de placer ces 8 aimants. Il existe peut-être une façon de placer 8 aimants qui convienne et qui soit différente de ce qui peut être obtenu en retirant un aimant sur le dessin. Clara ne donne pas de preuve que ces autres façons de placer les 8 aimants ne conviendraient pas. Il n'y a donc pas de preuve que 9 est un minimum.
Total des points pour la solution de Clara : 2 points sur 4
Solution proposée par Damien :
Un aimant peut toujours être placé sur une intersection de deux documents. On peut donc supposer que tous les aimants sont placés à des intersections.
Commençons par placer 3 aimants sur le document le plus à gauche, avec 2 sur l'intersection avec le document du haut, et 1 sur l'intersection avec le document du milieu. Le document du haut doit être attaché avec un 3e aimant placé sur l'intersection avec le document de droite. Il manque encore 2 aimants pour le document de droite, qui sont placés sur l'intersection avec le document du milieu. Le document du milieu est attaché par 3 aimants et n'en nécessite pas d'autres. On a placé 6 aimants. Il reste le document du bas, toujours sans aimant. Il faut donc 3 aimants supplémentaires, ce qui fait un total de 9 aimants. 9 est bien le nombre minimum d'aimants.
La solution de Damien peut paraitre plus étrange, car il ne fait aucun dessin pour montrer comment placer les 9 aimants. Seulement, il explique par écrit la façon exacte de placer ces aimants, ce qui revient au même qu'un dessin.
Pour prouver que 9 est bien le nombre minimum d'aimants, Damien donne des arguments intéressants qui peuvent être considérés par le jury et rapporter des points. Premièrement, il remarque que le problème est le même si on place tous les aimants à des intersections, ce qui simplifie le problème. Il ne reste plus que 5 places où placer les aimants. Ensuite, à partir de ses 3 premiers aimants attachant le document de gauche, il montre clairement par sa construction progressive qu'il en faudra minimum 6 autres pour attacher les autres documents.
Cependant, la preuve que 9 est bien un minimum est incomplète. En effet, Damien est parti d'une disposition particulière des 3 aimants attachant le document de gauche, et donc ne considère par toutes les possibilités de départ. Il existe peut-être une disposition à 8 aimants avec une configuration différente pour les 3 aimants attachant le document de gauche.
Néanmoins, la preuve de Damien aurait pu être complétée. Damien aurait pu considérer toutes les façons de placer les 3 premiers aimants sur le document de gauche. Par la simplification du problème aux intersections, il n'existe que 4 départs différents :
- 2 aimants au-dessus et 1 en dessous ;
- 1 aimant au-dessus et 2 en dessous ;
- les 3 aimants au-dessus ;
- les 3 aimants en dessous.
Pour chacun de ces départs, Damien aurait pu proposer une construction similaire qui aurait conduit à l'obligation de 6 aimants supplémentaires, et donc une preuve que 9 est bien un minimum.
Damien n'a pas résolu le problème complètement, mais a donné des arguments intéressants qui auraient pu conduire à une preuve complète. Le jury peut donc lui attribuer une partie des points pour la preuve que 9 est un minimum.
Total des points pour la solution de Damien : 3 points sur 4
Solution proposée par Emma :Il faut 9 aimants au minimum. Voici un exemple de 9 aimants qui fixent tous les documents. Ensuite, pour prouver que 9 est bien le nombre minimum d'aimants, il suffit de remarquer que 3 documents (le plus à gauche, le plus à droite et celui du bas) sont totalement disjoints. Ils nécessitent donc chacun minimum 3 aimants.
Emma a une solution complète. Elle donne la réponse et montre comment attacher les 5 documents à l'aide de 9 aimants. Ensuite elle présente un argument montrant qu'il faudra toujours au minimum 3 x 3 = 9 aimants pour attacher les documents. Elle peut donc recevoir la totalité des points.
Total des points pour la solution d'Emma : 4 points sur 4
Voilà, nos cinq concurrents sont probablement tous sortis de l'épreuve en pensant avoir résolu le problème. Or seule Emma l'a correctement résolu, et est bien partie pour remporter un prix. Si vous voulez vous aussi avoir de bons résultats pour une épreuve finale de l'Olympiade, n'oubliez pas que seule une preuve complète comme celle d'Emma vous rapportera la totalité des points. Et si vous ne trouvez pas de preuve complète, une partie de preuve comme celle de Damien pourra souvent vous rapporter une bonne partie des points. N'hésitez pas à regarder les exemples de preuves des questions des années antérieures proposées sur le site de l'Olympiade.
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