FINALE MIDI 2008 - Question 2

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pour cette question, j'ai donné un ordre croissant au fraction, donc on a a1/b1<(a1+a2...+a2008)/(b1+b2...+b2008)<a2008/b2008

puis on s'interresse a la premiere partis :
a1/b1<(a1+a2...+a2008)/(b1+b2...+b2008)

on mets X=(b1+b2...+b2008)x(b1)
donc :

a1/b1<((a1+a2...+a2008)/X)/((b1+b2...+b2008)/X)

<=>

a1/b1<((a1+a2...+a2008)/X)/b1

<=>

a1<((a1+a2...+a2008)/X) <=> a1<((a1+a2...+a2008)/(b1+b2...+b2008)x(b1)

se qui ne prouve rien ... ^^

Ordonnons tout d'abord les fractions :

Soit les suites et définies comme suit :
et pour .
Comme pour ,
nous avons donc .
Soit deux fractions , nous avons . Ceci implique que .
En utilisant cette dernière formule nous pouvons donc écrire

En fait, je dirais que la façon la plus simple, c'est de dire:
A</=an/bn
<=> A*bn</=an
=> A*b1</=a1
A*b2</=a2
...

Et, en prenant la somme:
A(b1+b2+...+b2008)</=a1+a2+...+a2008
<=>A<(a1+a2+...+a2008)/(b1+b2+...+b2008)
et on réitère pour B

(Déso pour les notations sans indices )