Bonjour, avez-vous l'explication du problème 30 ?
Le triangle ABC a pour aire 24. Les points P, Q et R sont tels que AP=1/2AB , BQ=1/3BC et CR=1/4CA . Quelle est l'aire du triangle PQR ?

merci !

Bonjour voici la réponse du problème (vu le format du texte il faut le copier et le coller dans ChatGPT ou une autre IA afin d'arranger le texte) : Étape 1 : Position des points PPP, QQQ, et RRR
On place les sommets A(0,0)A(0, 0)A(0,0), B(b,0)B(b, 0)B(b,0), C(0,c)C(0, c)C(0,c).
• PPP est au milieu de AAA et BBB :
P=(b2,0)P = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)P=(2b,0).
• QQQ divise BCBCBC en 13\frac{1}{3}31 et 23\frac{2}{3}32 :
Q=(2b3,c3)Q = \left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right)Q=(32b,3c).
• RRR divise CACACA en 14\frac{1}{4}41 et 34\frac{3}{4}43 :
R=(0,3c4)R = \left( 0, \frac{3c}{4} \right)R=(0,43c).

Étape 2 : Formule de l’aire du triangle
L'aire d'un triangle dont les sommets sont P(x1,y1)P(x_1, y_1)P(x1,y1), Q(x2,y2)Q(x_2, y_2)Q(x2,y2), et R(x3,y3)R(x_3, y_3)R(x3,y3) est donnée par :
Aire=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣.\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.Aire=21∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣.
Substituons :
• P(b2,0)P\left( \frac{b}{2}, 0 \right)P(2b,0),
• Q(2b3,c3)Q\left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right)Q(32b,3c),
• R(0,3c4)R\left( 0, \frac{3c}{4} \right)R(0,43c).
AirePQR=12∣b2(c3−3c4)+2b3(3c4−0)+0⋅(0−c3)∣.\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) + \frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) + 0 \cdot \left( 0 - \frac{c}{3} \right) \right|.AirePQR=212b(3c−43c)+32b(43c−0)+0⋅(0−3c).

Étape 3 : Simplification des calculs
1. b2(c3−3c4)=b2⋅(−5c12)=−5bc24.\frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) = \frac{b}{2} \cdot \left( -\frac{5c}{12} \right) = -\frac{5bc}{24}.2b(3c−43c)=2b⋅(−125c)=−245bc.
2. 2b3(3c4−0)=2b3⋅3c4=6bc12=bc2.\frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) = \frac{2b}{3} \cdot \frac{3c}{4} = \frac{6bc}{12} = \frac{bc}{2}.32b(43c−0)=32b⋅43c=126bc=2bc.
Somme :
−5bc24+bc2=−5bc24+12bc24=7bc24.-\frac{5bc}{24} + \frac{bc}{2} = -\frac{5bc}{24} + \frac{12bc}{24} = \frac{7bc}{24}.−245bc+2bc=−245bc+2412bc=247bc.
Aire :
AirePQR=12⋅7bc24=7bc48.\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7bc}{24} = \frac{7bc}{48}.AirePQR=21⋅247bc=487bc.

Étape 4 : Utilisation de l’aire de ABCABCABC
On sait que :
AireABC=12⋅b⋅c=24.\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = 24.AireABC=21⋅b⋅c=24.
Donc :
b⋅c=48.b \cdot c = 48.b⋅c=48.
Substituons dans AirePQR\text{Aire}_{PQR}AirePQR :
AirePQR=7⋅4848=7.\text{Aire}_{PQR} = \frac{7 \cdot 48}{48} = 7.AirePQR=487⋅48=7.

Résultat final :
L'aire du triangle PQRPQRPQR est 7.

Pour ce type de problème il faut utiliser les vecteurs

Voilà la réponse dans le language LATEX (en clair) :


{Données du problème}
- L'aire du triangle $ABC$ est $24$.
- $AP=\frac{1}{2}AB$, $BQ=\frac{1}{3}BC$, $CR=\frac{1}{4}CA$.

On cherche l'aire du triangle $PQR$.

{Étape 1 : Position des points $P$, $Q$, et $R$}
Plaçons les sommets dans un repère cartésien :
- $A(0,0)$, $B(b,0)$, $C(0,c)$.

Les points $P$, $Q$, et $R$ sont donnés par les proportions respectives :

\item $P$ est au milieu de $A$ et $B$ :
$$P=(\frac{b}{2},0).$$
\item $Q$ divise $BC$ en $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$ :
$$Q=(\frac{2b}{3},\frac{c}{3}).$$
\item $R$ divise $CA$ en $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$ :
$$R=(0,\frac{3c}{4}).$$


{Étape 2 : Formule de l’aire du triangle}
L'aire d'un triangle de sommets $P(x_1,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$, $R(x_3,y_3)$ est donnée par la formule :
$$\text{Aire}=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|.$$

Substituons les coordonnées de $P(\frac{b}{2},0)$, $Q(\frac{2b}{3},\frac{c}{3})$, et $R(0,\frac{3c}{4})$ :
$${\text{Aire}}_{PQR}=\frac{1}{2}|\frac{b}{2}(\frac{c}{3}-\frac{3c}{4})+\frac{2b}{3}(\frac{3c}{4}-0)+0\cdot (0-\frac{c}{3})|.$$

{Étape 3 : Simplification des calculs}
1. Calcul du premier terme :
$$\frac{b}{2}(\frac{c}{3}-\frac{3c}{4})=\frac{b}{2}\cdot (-\frac{5c}{12})=-\frac{5bc}{24}.$$
2. Calcul du deuxième terme :
$$\frac{2b}{3}(\frac{3c}{4}-0)=\frac{2b}{3}\cdot \frac{3c}{4}=\frac{6bc}{12}=\frac{bc}{2}.$$

Somme des deux termes :
$$-\frac{5bc}{24}+\frac{bc}{2}=-\frac{5bc}{24}+\frac{12bc}{24}=\frac{7bc}{24}.$$

Enfin, l'aire du triangle est donnée par :
$${\text{Aire}}_{PQR}=\frac{1}{2}\cdot \frac{7bc}{24}=\frac{7bc}{48}.$$

{Étape 4 : Utilisation de l’aire de $ABC$}
On sait que l'aire du triangle $ABC$ est donnée par :
$${\text{Aire}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c=24.$$
Donc :
$$b\cdot c=48.$$

Substituons cette valeur dans l'expression de ${\text{Aire}}_{PQR}$ :
$${\text{Aire}}_{PQR}=\frac{7\cdot 48}{48}=7.$$

{Résultat final}
L'aire du triangle $PQR$ est :
$$\boxed{{\displaystyle 7}}.$$

Bonjour, vous pouvez utiliser latex sur ce site, mais en utilisant les balises et non , et sans le préambule du document, les itemize etc.

N'hésitez pas à utiliser le bouton Aperçu pour savoir ce que cela donne.

Fi donc des formules et des repères cartésiens!
Posons $\mathcal{A}(ABC)=S=24$, $\mathcal{A}(PQR)=X$, $\mathcal{A}(BPQ)=S_1$, $\mathcal{A}(QCR)=S_2$ et $\mathcal{A}(RAQ)=S_3$.

Il suffit de se rappeler que si la base d'un triangle est multipliée par $k$ et sa hauteur par $\ell$ ($k$ et $\ell$ positifs), son aire est multipliée par $k\cdot \ell$.

De là:
$S_1=(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3})S$,
$S_2=(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4})S$,
$S_3=(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4})S$.

Et donc
$X=S-(S_1+S_2+S_3)=24(1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{3}{8})=7$.

Bonjour bob !
J'ai eu du mal aussi avec ce problème l'année passé en demi-finale. En y repensant le moyen le plus facile et adéquat que j'ai trouvé est la géométrie analytique. ça te facilite la vie ici . Centre ton plan en B(0,0) et calcule l'intersection de la médiatrice avec le plan.Ce qui est sympatique c'est que tes points a et c reste dans des coordonnées entière!
à la revoyure ! J'espère te voir en demi finale .
Mernissi. Y