Bonjour, avez-vous l'explication du problème 30 ?
Le triangle ABC a pour aire 24. Les points P, Q et R sont tels que AP=1/2AB , BQ=1/3BC et CR=1/4CA . Quelle est l'aire du triangle PQR ?

merci !

Bonjour voici la réponse du problème (vu le format du texte il faut le copier et le coller dans ChatGPT ou une autre IA afin d'arranger le texte) : Étape 1 : Position des points PPP, QQQ, et RRR
On place les sommets A(0,0)A(0, 0)A(0,0), B(b,0)B(b, 0)B(b,0), C(0,c)C(0, c)C(0,c).
• PPP est au milieu de AAA et BBB :
P=(b2,0)P = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)P=(2b,0).
• QQQ divise BCBCBC en 13\frac{1}{3}31 et 23\frac{2}{3}32 :
Q=(2b3,c3)Q = \left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right)Q=(32b,3c).
• RRR divise CACACA en 14\frac{1}{4}41 et 34\frac{3}{4}43 :
R=(0,3c4)R = \left( 0, \frac{3c}{4} \right)R=(0,43c).

Étape 2 : Formule de l’aire du triangle
L'aire d'un triangle dont les sommets sont P(x1,y1)P(x_1, y_1)P(x1,y1), Q(x2,y2)Q(x_2, y_2)Q(x2,y2), et R(x3,y3)R(x_3, y_3)R(x3,y3) est donnée par :
Aire=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣.\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.Aire=21∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣.
Substituons :
• P(b2,0)P\left( \frac{b}{2}, 0 \right)P(2b,0),
• Q(2b3,c3)Q\left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right)Q(32b,3c),
• R(0,3c4)R\left( 0, \frac{3c}{4} \right)R(0,43c).
AirePQR=12∣b2(c3−3c4)+2b3(3c4−0)+0⋅(0−c3)∣.\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) + \frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) + 0 \cdot \left( 0 - \frac{c}{3} \right) \right|.AirePQR=212b(3c−43c)+32b(43c−0)+0⋅(0−3c).

Étape 3 : Simplification des calculs
1. b2(c3−3c4)=b2⋅(−5c12)=−5bc24.\frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) = \frac{b}{2} \cdot \left( -\frac{5c}{12} \right) = -\frac{5bc}{24}.2b(3c−43c)=2b⋅(−125c)=−245bc.
2. 2b3(3c4−0)=2b3⋅3c4=6bc12=bc2.\frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) = \frac{2b}{3} \cdot \frac{3c}{4} = \frac{6bc}{12} = \frac{bc}{2}.32b(43c−0)=32b⋅43c=126bc=2bc.
Somme :
−5bc24+bc2=−5bc24+12bc24=7bc24.-\frac{5bc}{24} + \frac{bc}{2} = -\frac{5bc}{24} + \frac{12bc}{24} = \frac{7bc}{24}.−245bc+2bc=−245bc+2412bc=247bc.
Aire :
AirePQR=12⋅7bc24=7bc48.\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7bc}{24} = \frac{7bc}{48}.AirePQR=21⋅247bc=487bc.

Étape 4 : Utilisation de l’aire de ABCABCABC
On sait que :
AireABC=12⋅b⋅c=24.\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = 24.AireABC=21⋅b⋅c=24.
Donc :
b⋅c=48.b \cdot c = 48.b⋅c=48.
Substituons dans AirePQR\text{Aire}_{PQR}AirePQR :
AirePQR=7⋅4848=7.\text{Aire}_{PQR} = \frac{7 \cdot 48}{48} = 7.AirePQR=487⋅48=7.

Résultat final :
L'aire du triangle PQRPQRPQR est 7.

Pour ce type de problème il faut utiliser les vecteurs

Voilà la réponse dans le language LATEX (en clair) :


{Données du problème}
- L'aire du triangle $ ABC $ est $ 24 $.
- $ AP = \frac{1}{2} AB $, $ BQ = \frac{1}{3} BC $, $ CR = \frac{1}{4} CA $.

On cherche l'aire du triangle $ PQR $.

{Étape 1 : Position des points $ P $, $ Q $, et $ R $}
Plaçons les sommets dans un repère cartésien :
- $ A(0, 0) $, $ B(b, 0) $, $ C(0, c) $.

Les points $ P $, $ Q $, et $ R $ sont donnés par les proportions respectives :

\item $ P $ est au milieu de $ A $ et $ B $ :
\[
P = \left( \frac{b}{2}, 0 \right).
\]
\item $ Q $ divise $ BC $ en $ \frac{1}{3} $ et $ \frac{2}{3} $ :
\[
Q = \left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right).
\]
\item $ R $ divise $ CA $ en $ \frac{1}{4} $ et $ \frac{3}{4} $ :
\[
R = \left( 0, \frac{3c}{4} \right).
\]


{Étape 2 : Formule de l’aire du triangle}
L'aire d'un triangle de sommets $ P(x_1, y_1) $, $ Q(x_2, y_2) $, $ R(x_3, y_3) $ est donnée par la formule :
\[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|.
\]

Substituons les coordonnées de $ P\left( \frac{b}{2}, 0 \right) $, $ Q\left( \frac{2b}{3}, \frac{c}{3} \right) $, et $ R\left( 0, \frac{3c}{4} \right) $ :
\[
\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) + \frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) + 0 \cdot \left( 0 - \frac{c}{3} \right) \right|.
\]

{Étape 3 : Simplification des calculs}
1. Calcul du premier terme :
\[
\frac{b}{2} \left( \frac{c}{3} - \frac{3c}{4} \right) = \frac{b}{2} \cdot \left( -\frac{5c}{12} \right) = -\frac{5bc}{24}.
\]
2. Calcul du deuxième terme :
\[
\frac{2b}{3} \left( \frac{3c}{4} - 0 \right) = \frac{2b}{3} \cdot \frac{3c}{4} = \frac{6bc}{12} = \frac{bc}{2}.
\]

Somme des deux termes :
\[
-\frac{5bc}{24} + \frac{bc}{2} = -\frac{5bc}{24} + \frac{12bc}{24} = \frac{7bc}{24}.
\]

Enfin, l'aire du triangle est donnée par :
\[
\text{Aire}_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7bc}{24} = \frac{7bc}{48}.
\]

{Étape 4 : Utilisation de l’aire de $ ABC $}
On sait que l'aire du triangle $ ABC $ est donnée par :
\[
\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = 24.
\]
Donc :
\[
b \cdot c = 48.
\]

Substituons cette valeur dans l'expression de $ \text{Aire}_{PQR} $ :
\[
\text{Aire}_{PQR} = \frac{7 \cdot 48}{48} = 7.
\]

{Résultat final}
L'aire du triangle $ PQR $ est :
\[
\boxed{7}.
\]

Bonjour, vous pouvez utiliser latex sur ce site, mais en utilisant les balises et non , et sans le préambule du document, les itemize etc.

N'hésitez pas à utiliser le bouton Aperçu pour savoir ce que cela donne.

Fi donc des formules et des repères cartésiens!
Posons $\mathcal{A}(ABC)=S=24$, $\mathcal{A}(PQR)=X$, $\mathcal{A}(BPQ)=S_1$, $\mathcal{A}(QCR)=S_2$ et $\mathcal{A}(RAQ)=S_3$.

Il suffit de se rappeler que si la base d'un triangle est multipliée par $k$ et sa hauteur par $\ell$ ($k$ et $\ell$ positifs), son aire est multipliée par $k\cdot\ell$.

De là:
$S_1=\left(\frac12\cdot\frac13\right)S$,
$S_2=\left(\frac23\cdot\frac14\right)S$,
$S_3=\left(\frac12\cdot\frac34\right) S$.

Et donc
$X=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=24\left(1-\frac16-\frac16-\frac38\right)=7$.