Il ne faut pas essayer de trouver directement les racines, mais regarder si et sont plus grands ou plus petits l'un que l'autre à certains moments.
- En , tend vers l'infini, et tend vers 0. .
- En 0, .
- En 2,
- Enfin, en , on sait que l'exponentielle finira par rattraper , donc .

Les deux expressions inversent trois fois leur ordre, et puisqu'elles sont continues et sur , cela fait au moins 3 racines.

Le nombre de qualifiés, et donc le seuil de qualification, se choisissent généralement en fonction du nombre de personnes que les centres régionaux peuvent accueillir.

Oh, il y a plus simple : si tu prends le triangle formé par le milieu du diamètre du demi-cercle et un des côtés verticaux du carré, il est rectangle car un de ses angles est un angle du carré. De plus, ses côtés valent , et (où est le côté du carré). En appliquant Pythagore, on obtient , donc Aire = .

J'ai bien une solution avec quelques dérivées en tête, mais elle utilise le même "argument" que la solution graphique, en 10x plus moche.
Une bonne esquisse de graphe peut parfois servir !

Si on prend l'angle correspondant à un des points ne se trouvant pas sur le diamètre (comme dans un cercle trigonométrique), et qu'on le nomme , on a , donc . Or , donc on a .
Ensuite, on calcule l'aire du carré à partir de là : son côté est , donc son aire est , soit .

Si un point de la résolution est brumeux, n'hésite pas à demander des précisions !

Ah oui j'avais pas pensé à ça. >.<
Apparemment dès que je vois un truc à peu près résoluble mon discernement disparaît.

Bon, vu que Nicolas Radu n'est pas intervenu, on peut supposer qu'il n'y a effectivement pas de méthode plus rapide.

En tout cas, bonne chance pour mercredi !

Oh oui, au temps pour moi, je voulais bien sûr dire Horner. Tu as pu d'ailleurs te rendre compte vu les nombreuses autres coquilles que je ne me suis pas relu très soigneusement.

En fait, il suffisait de trouver deux des racines, et de vérifier que le polynôme restant avait un ou positif. Car, si on suppose que toutes les racines existent, on peut représenter le polynôme de cette façon : , ou sont ses racines (car le coefficient en vaut 1). Or, on remarque que le terme en vaut 0, et vaut . Et puisqu'aucune des racines n'est nulle, on en déduit que la somme des inverses est nulle.

Mais je ne connais pas de méthode plus rapide que celle-là.

Surtout n'hésite pas à quérir d'avantage
De clarifications que n'offre mon message.
Car malgré mes efforts, mes paroles peu fines
Peuvent toujours, hélas, paraître sibyllines.

Salut !

Les résolutions ci-dessous ne sont pas des démonstrations, mais sont le raisonnement qu'il faut généralement avoir dans des situations d'éliminatoires ou demi-finales.

D04 Q22: Pour maximiser ce produit, on a intérêt à ce que les deux nombres soient grands. Or, quand des nombres d'écart constant grandissent, l'écart entre leurs carrés grandit aussi. Donc, à l'inverse, pour que ces nombres soient les plus grands possibles avec écart entre les carrés constant, il faut que leur écart soit le plus petit possible.
- Si leur écart est 1 : nommons-les et . L'écart des carrés est , et ne peut donc valoir 64. Dommage. On essaie avec 2.
- Si leur écart est 2 : nommons-les et . L'écart des carrés est . est possible.
Le produit maximal est donc .

D01 Q28: On le voit assez bien graphiquement. Le graphe de oscille régulièrement entre 1 et -1, tandis que le graphe de tend vers 0 en et est plus petit que 1 à partir de 1. De toute évidence il vont avoir une infinité d'intersections, et donc de valeur de où ils les deux expressions sont égales.

E08 Q10: Il faut savoir qu'un nombre se réprésentant comme cela en facteurs premier : aura diviseurs.
Dès lors, le meilleur moyen pour ce produit de valoir 10 sans que devienne trop grand est d'attribuer le facteur 5 à et le facteur 2 à , et de prendre et . Le nombre vaut donc .

E08 Q12: Puisque et ont une différence de 2, le pgcd est 1 ou 2. Or puisque divise , leur PGCD vaut (car n+1 peut être négatif). Dès lors, on a égal à 1, 2, -1 ou -2 qui donne chacun une solution.

E08 Q30: On observe que (puissance 4 d'une somme, et différence de deux carrés. Pour qu'un produit d'entiers vaille un premier, un des deux facteurs doit être égal à 1. On a donc ou , soit égal à -5, 0 ou 1. Seuls -5 et 1 donnent une solution valable.

E11 Q9: On remarque qu'à partir de , est multiple de 10. Dès lors, le chiffre des unités de cette somme est celui de . Donc il vaut 3.

E11 Q19: On essaie en les prenant consécutifs : et . , donc une solution est . (On n'a pas prouvé que c'est la seule mais ce n'est pas nécessaire.)

E11 Q22: Grâce à la formule en (E08 Q10), on calcule facilement le nombre des diviseurs de 100, 99, 98, 97, 96, et enfin 95.

E12 Q28: Le nombre de 0 de ce nombre est évidemment celui de , moins 12. Dans , le nombre de 0 vaut le nombre de facteurs 10. Pour former ces facteurs 10, on a besoin de facteurs 5 et de facteurs 2. Or, on a des facteurs 2 en excès, donc ce sera le nombre de facteurs 5. Dans les nombres de 1 à 99, on a 19 multiples de 5, donc déjà 19 facteurs 5. Mais de plus on a 3 multiples de 25, donc 3 facteurs 5 en plus. En tout, a donc zéros, donc a zéros à la fin.

E12 Q29: Si on avait parlé de racines complexes on aurait pu faire quelque chose de jolie, mais vu qu'on n'est pas sûr que toutes les racines existent on doit se résoudre à trouver toutes les racines avec Hölder. Heureusement elles sont sympathiques : 1, -2, -3 et -6. La somme de leurs inverses vaut donc 0.

D11 Q18: On a , ce qui nous ramène à une situation similaire à (E08 Q12), c'est-à-dire divise , qui possède grâce à la formule de (E08 Q10) 6 diviseurs, et puisque cette fois on n'accepte pas négatif, il y a 6 valeurs possibles pour .

D11 Q20: L'équation équivaut à , ce qui est un cas particulier du grand théorème de Fermat (si tu ne le connais pas, va voir sur Internet, c'est de la culture générale). On a donc pour seules solution (car ne peut l'être) et , donc les couples et , soit deux solutions.
(Les puristes sur ce forum vont me dire qu'au lieu de tuer une mouche au bazooka, j'aurais pu travailler sur , mais j'aime les bazookas.)